Question

【题目】已知椭圆 ，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；

（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）平行，理由见解析．

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到，，的值，再利用计算离心率；（Ⅱ）由直线的特殊位置，设出，点坐标，设出直线的方程，由于直线与相交于点，所以得到点坐标，利用点、点的坐标，求直线的斜率；（Ⅲ）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于即可证明，即两直线平行.

试题解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为.

所以，，.

所以椭圆的离心率.

（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，.

直线的方程为.

令，得.

所以直线的斜率.

（Ⅲ）直线与直线平行.证明如下：

当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.

又因为直线的斜率，所以.

当直线的斜率存在时，设其方程为.

设，，则直线的方程为.

令，得点.

由，得.

所以，.

直线的斜率.

因为

，

所以.

所以.

综上可知，直线与直线平行.