Question

【题目】静止于太空惯性系S的飞船，主体质量为，携带的燃料质量为，某时刻发动机点火使飞船开始沿直线方向朝前加速运动，已知单位时间燃烧的燃料质量为，燃料全部生成物的喷射速度（生成物相对飞船的朝后速度）为常量u，在一直到燃料烧尽的全过程中，试求：

（1）飞船加速度的最小值和最大值。

（2）飞船末速度。

（3）初始时刻飞船发动机提供的功率（单位时间燃料在燃烧过程中释放的内能，即单位时间内系统动能的增量）和全过程时间内的平均功率。

（4）发射效率（飞船最终获得的动能占发动机释放的全部燃料内能之比）。

（5）为何值（给出1位有效数字）时，取极大值？

Answer 1

【答案】（1）， （2） （3），。

（4）（5）

【解析】

（1）t时刻飞船（主体与剩余燃料）的质量记为M，速度记为v，经时间燃烧掉燃枓质量-，飞船速度增为。

由动量守恒方程有

（略去二阶小量），

得。 ①

将，代入，得

。

又，

即有，时；

，时。

（2）对①式积分得

，

得。

末速度为。

（3）在时间内，

，

系统动能增量为

（略去二阶小量），

得。

将代入，得

。

时间内燃料释放的内能等于系统动能的增量，即得t时刻发动机提供的功率为

。

因为常量，故

，。

（4）据（2）问，飞船最终获得的动能为

。

释放的全部燃料内能为

。

所求效率便为

。

（5）将代入上式，得

。

令，得方程

。

该方程的解即对应于的极值，解的数值计算见下表：

	1	2	3	3.5	4	4.5	6
	1	1.33	1.5	1.56	1.6	1.64	1.67
	0.69	1.10	1.39	1.50	1.61	1.70	1.79
	48%	60%	64%	64.6%	65%	64.6%	64%

由此可见，时，。