Question

【题目】如图甲所示，一人做射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上，试加以证明。（已知水平线离地面高度为h，枪与靶相距为d，子弹发射速率为）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图乙（此图在题图的基础上转换了一个方位）建立坐标系，O点为子弹发射点，轴垂直墙面（yz平面），轴与墙交于点。，y轴竖直向上，z轴与墙面平行，并水平指向。

抛体运动原本是在通过抛射点的一个竖直平面内的平面运动，它可以用两个直线运动描述。本问题讨论的是子弹在通过抛射点的不同竖直平面内的运动，必须在三维空间中加以讨论。但是，每次抛射，子弹仍在一个平面内适动。

任意取一个过O点的竖直抛射平面，其与地面交线取作轴，它与墙面交于点D，，如图乙所示。若墙上瞄准点为B，子弹击中墙平面上直线MN上的A点。设B点坐标为，因墙平面上各点的x坐标均为d。题中要求写出满足条件的y与x之间的函数关系。

我们把子弹的抛体运动分解为以速度为的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动，且子弹击中直线MN上的A点。利用子弹匀速地从O点到B点的时间等于从B点自由落体到A点的时间，写出方程，

即。

将此式两边平方，再整理得到

。

这就是为击中墙上水平线MN，要求枪在墙上的瞄准点所满足的关系。这是一个圆方程，圆心坐标为，圆半径为。

图丙中画出了墙平面上的直线MN和瞄准点构成的圆。

能够看出：

ⅰ.一般情况下，同一个击中点A，对应有两个瞒准点和，即对应两个抛射角。因此，为使墙上击中点高于直线MN，在初速相同的情况下，其瞄准点应落在圆的内部。

ⅱ.当子弹初速、墙与发射点距离d、墙平面上直线MN高度h一定时，子弹只能击中此水平线的一部分，即从点到点一段。

ⅲ.瞄准点圆半径必须满足。相应地，不能太小。代入r的表达式，确定的条件为。