题目内容
【题目】球面透镜一般只对近轴光线才能近似地成像。对于下图所示的弯月形透镜，当物点位于主光轴上的特殊点时，即使是非近轴光线，经透镜折射后的出射光线也均能交于同一点，即能理想成像。今有一弯月形透镜，透镜折射率为n，放置在空气中，两球面
，和
的球心分别为
和
，球面
的半径为
。已知
，物点Q位于点。试证明：
(1)从Q点发出的任何经透镜的光线（包括非近轴光线），经透镜折射后，出射光线都能相交于同一像点
；
(2)
。
【答案】证明见解析
【解析】
解析 首先考虑
面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过面，所以对
来说，物点就在
处。
再考虑到面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为
，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q（如图乙所示），则由折射定律知
。
在
中应用正弦定理得
。
已知
，由此得
，
，
所以
。
设CP与主轴的夹角为α，则有
。
显然，
时，
a，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。
为
的外角，有
。
在
中应用正弦定理，得
，
。
的数值与无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与
的距离为
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