Question

【题目】一个小球连接两个相同的自然伸长的轻质弹性绳，弹性绳的远端都固定起来，并且两根弹性绳都位于一条直线上（如图所示）．现在把小球在垂直于弹性绳初始直线方向向上拉开1cm，然后释放，后读出小球的振动周期为2s．问：拉开距离为2cm时，小球振动的周期为多少？（弹性绳自然长度，重力不计）

Answer 1

【答案】

【解析】

当小球沿垂直于弹簧所处的初始直线位置发生位移时，弹簧将由伸长至l，则

弹簧的伸长量为．

每根弹簧由此产生的弹力为．

则小球所受到的合力为．

小球受到的合力即为小球的回复力，这显然不是线性的．小球运动对应的动力学方程为方程称为非线性方程，它只有数值解，没有解析解，但是，对于本问题，我们无需求解。

方法一：量纲分析

首先，我们来确定一下由上述动力学方程决定的小球的运动，其周期由哪些因素决定？

ⅰ与方程中的有关；

ⅱ与小球的振幅A有关．

而，．

因为，

所以，

所以，，

即，，

所以．

故由，，可得．

方法二：为了求出周期与振幅之间的关系，可以先利用机械能守恒，从中解出速度v，再由速度解出经历四分之一周期的时间．

当小球的位移为x时，由前面的分析可知，每根弹簧的伸长量为，每根弹簧的弹性势能为．

由机械能守恒可得

，

即，

所以，

即，

即．

显然，

故有．