Question

【题目】从1，2，3，…，2050这2050个数中任取2018个组成集合，把中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：

①这600个红数的和等于600个蓝数的和；

②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

证明一：注意到.且 .则，且

把中的，，，型数染成红色，

，，，型数染成蓝色。

因为，所以.

构造257个抽屉，第个抽屉放置形如“, ,,,,,”的数，.第257个抽屉放置中大于2048的数（最多2个数）.

2050个数中任取2018个数按要放入抽屉，至少填满224个抽屉（放入了8个数），224个填满数的抽屉每个抽屉都是4个红数和4个蓝数，其和相等且平方和相等。

取224个抽屉中的150人，，共600个红数与600个蓝数，也有和相等，且平方和相等.

即存在600个红数与600个蓝数，这600个红数与个蓝数的和相等，且平方和相等。

证明二：注意到，且.

则，

且

把中的，，，型数染成红色。

，，型数染成蓝色。

因为，所以.

构造293个抽屉，时，抽屉放置集合中不超过6的数，其余的第个抽屉放置形如，， ，，，型数，.

2050个数中的任取2018个数按要求放入抽屉，至少填满260个抽屉（放入了7个数），260个填满数的抽屉中每个抽屉都是4个红数和3个蓝数，取，，型3个红数和3个蓝数，其和相等且平方和相等。

取260个抽屉中的200个，，共600个红数与600个蓝数，也有和相等，且平方和相等。

即存在600个红数与600个蓝数，这600个红数与600个蓝数的和相等，且平方和相等。