Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=|x+1|﹣|x|，则由题意可得f（x）≥0的解集为，即g（x）≥﹣a的解集为，

即 g（x）＜﹣a恒成立．

∵ ，作出函数g（x）的图象，

由图可知，函数g（x）的最小值为g（x）min=﹣1；函数g（x）的最大值为g（x）max=1．

∴﹣a＞1，∴a＜﹣1，

综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．

（2）解：在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知，

把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，

从而﹣1＜a＜0．

【解析】（1）由题意可得即 g（x）＜﹣a恒成立，作出函数g（x）的图象，求得函数g（x）的最大值为g（x）max=1，可得﹣a＞1，∴从而求得a的范围．（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），则它与y=x的图象始终有3个交点，从而得到a的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．