Question

4．一底面积为S₀圆柱形容器中装有适量的水，质量分别为m₁和m₂的甲、乙两实心小球用一根无弹性细线连在一起．将它们放入水中后恰好悬浮，如图所示，此时细线上的拉力为T₀．下列判断正确的是（　　）

• A． 甲球的密度为 $\frac{{m}_{1}g{ρ}_{水}}{{m}_{1}g+{T}_{0}}$
• B． 乙球的体积为$\frac{{m}_{2}g+mg-{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$
• C． 将细线剪断待两小球静止后，液面下降的高度为$\frac{{T}_{0}}{{S}_{0}{ρ}_{水}g}$
• D． 将细线剪断待两小球静止后，甲球露出水面的体积为 $\frac{{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$

Answer 1

分析 （1）根据图中甲球受力平衡，利用阿基米德原理即可求出甲球的体积，然后利用密度公式求出甲球的密度．
（2）根据图中乙球受力平衡，利用阿基米德原理即可求出乙球的体积．
（3）把细线剪断后，根据阿基米德原理即可求出受到的总浮力的变化量，即可根据F_浮=ρ_水gV_排求出排开水的体积减小量，利用V=Sh求出下降的高度；
（4）把细线剪断后，求出甲球的浮力的变化量，根据F_浮=ρ_水gV_排求出露出水面的体积．

解答 解：
A、由图可知：甲球浸没在水中受力平衡，即：F_浮1=G_甲+T₀，则：ρ_水gV_甲=m₁g+T₀，
所以，V_甲=$\frac{{m}_{1}g+{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$，
则ρ_甲=$\frac{{m}_{1}}{{V}_{甲}}$=$\frac{{m}_{1}}{\frac{{m}_{1}g+{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}}$=$\frac{{m}_{1}g{ρ}_{水}}{{m}_{1}g+{T}_{0}}$，故A正确；
B、由图可知：乙球浸没在水中受力平衡，即：G_乙=F_浮2+T₀，则：m₂g=ρ_水gV_乙+T₀，
所以，V_乙=$\frac{{m}_{2}g-{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$，故B错误．
C、甲、乙两实心小球用一根无弹性细线连在一起在水中后悬浮，则F_浮总=G_甲+G_乙，
如把细线剪断后，甲球上浮，乙球下沉；则F_浮甲=G_甲，F_浮乙=ρ_水gV_乙，
所以，F_浮总′=F_浮甲+F_浮乙=G_甲+ρ_水gV_乙，
△F_浮=F_浮总-F_浮总′=（G_甲+G_乙）-（G_甲+ρ_水gV_乙）=G_乙-ρ_水gV_乙=m₂g-ρ_水g×$\frac{{m}_{2}g-{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$=T₀，
由F_浮=ρ_水gV_排可知排开的水的体积减小量为△V=$\frac{△{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$，
所以，水面下降的高度△h=$\frac{△V}{{S}_{0}}$=$\frac{\frac{{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}}{{S}_{0}}$=$\frac{{T}_{0}}{{S}_{0}{ρ}_{水}g}$，故C正确．
D、对于甲球，浸没在水中时受力平衡，即：F_浮1=G_甲+T₀，把细线剪断后，甲球上浮，F_浮甲=G_甲，则将细线剪断待两小球静止后，甲球受到的浮力减小量为：△F_浮甲=F_浮1-F_浮甲=G_甲+T₀-G_甲=T₀，由F_浮=ρ_水gV_排可知露出水面的体积V_甲露=$\frac{△{F}_{浮甲}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{T}_{0}}{{ρ}_{水}g}$，故D正确．
故选ACD．

点评 本题考查知识点比较多，浮力的计算、重力的计算、压强的计算、密度的公式和阿基米德原理的应用，本题的关键是根据空心球和实心球是用相同材料制成的且质量都是200g得出实心球的体积与构成空心球的材料的实际体积相同．