Question

有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度．如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？

Answer 1

分析：由题可知，铁棒的重力提供一部分阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为L₂；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则一半物重提供阻力，阻力臂为

1

4

a；力F提供动力，动力臂为L．在动力和阻力的作用下，杠杆平衡．由杠杆的平衡条件求出关于F的表达式，则由数学知识要求得F的最小值及取最小值时L的长度．

解答：解：由题意可知，物体的重力为G=mg=ρa³g；
设铁棒长为L，动力为F．由题可知铁棒的重力提供的阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为

1

2

L；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则重物的一半重力提供阻力，阻力臂为

1

4

a；力F提供动力，动力臂为L．由杠杆的平衡条件得：F₁L₁=F₂L₂
即：

1

4

a?

1

2

ρa³g+LP?

1

2

L=FL
解得人对杠杆的力：
F=

ρa4g 8 + pL2 2

L

=

ρa4g

8L

+

p

2

L
由数学知识a²+b²≥2ab，当a=b时取最小值，可得
当=

ρa4g

8L

=

p

2

L时，即L=

a2

2

ρg p

时F有最小值．
F的最小值为：F=

a2

2

ρgP

．
答：当选用的铁棒长度为L=

a2

2

ρg p

时，施加的力最小；这个最小的力是F=

a2

2

ρgP

．

点评：本题是关于杠杆平衡条件的应用，关键点是结合题意：把重物箱撬起一个接近于0°的角度，准确找出阻力臂和动力臂．由于解题时需要用到数学上的知识，属于综合性较强的题目．