Question

8．如图所示，在盛有某种液体的圆柱形容器内放有一木块A，在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B，金属块B浸没在液体内，而木块漂浮在液面上，液面正好与容器口相齐．某瞬间细线突然断开，待稳定后液面下降了h₁；然后取出金属块B，液面又下降了h₂；最后取出木块A，液面又下降了h₃．则木块A与金属块B的密度之比为是多少？

Answer 1

分析 此时木块A受到自身重力、浮力、向下的拉力，B受到重力、向上的拉力，和浮力的作用，当细线断开后，木块受到的浮力减小，减小的浮力等于金属块B的重力与金属块B所受浮力之差；根据此关系和阿基米德原理列出等式．
木块在液体中最后漂浮，受到的浮力等于自身重力，根据此关系和阿基米德原理列出等式，二式相比较即可得出结论．

解答 解：细线断开后，木块减小的浮力F_浮1=ρ_液gV_排1=ρ_液gSh₁；
取出金属块B，液面又下降了h₂，则V_B=Sh₂，
金属块B的重力与金属块B所受浮力之差等于木块减小的浮力，则G_B-ρ_液gSh₂=ρ_BVg-ρ_液gSh₂，
可得：ρ_液gSh₁=ρ_BVg-ρ_液gSh₂，
即：ρ_BVg=ρ_液gSh₁+ρ_液gSh₂ ------①；
当木块漂浮在水面上时，受到的浮力等于自身的重力，F_浮2=G_A，由于F_浮2=ρ_液gSh₃，G_A=ρ_AVg
可得：ρ_AVg=ρ_液gSh₃------②
$\frac{①}{②}$=$\frac{{ρ}_{B}Vg}{{ρ}_{A}Vg}$=$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{液}gS{h}_{1}+{ρ}_{液}gS{h}_{2}}{{ρ}_{液}gS{h}_{3}}$=$\frac{{ρ}_{液}gS（{h}_{1}-{h}_{2}）}{{ρ}_{液}gS{h}_{3}}$=$\frac{{h}_{1}+{h}_{2}}{{h}_{3}}$．
则木块A与金属块B的密度之比为：$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{h}_{3}}{{h}_{1}+{h}_{2}}$．
答：木块A与金属块B的密度之比为是为$\frac{{h}_{3}}{{h}_{1}+{h}_{2}}$．

点评 本题考查物体密度的大小比较，关键是对AB进行受力分析，找出AB所受浮力与液面降低的关系，这是本题的难点．减小的浮力用△F_浮来表示，分别求减小的浮力、B的重、B受到的浮力，再得出关系式．