Question

如图所示，重16km的金属圆柱体放在圆筒形容器中，细绳AD系于圆柱体上底面中央并沿竖直方向，杠杆AB可绕O点在竖直平面内转动．当把小球P先后挂在B点与C点时，圆柱体对水平容器底面的压强变化了2500p_a．当向容器中注水，使圆柱体没入水中，为使圆柱体对容器底面的压力恰好为零，需将小球P悬挂于距支点O1.4m的地方．已知杠杆在以上的各个状态中，杠杆均在水平位置上平衡，AO=0.5m，CB=0.5m，圆柱体高h=0.1m．（g取10N/km，杠杆的质量、悬挂圆柱体和小球P的细绳的质量均忽略不计）求：金属圆柱体的密度．

Answer 1

分析：（1）分别在B、C点施加力，根据杠杠平衡条件得出关于在A端施加力F₁和F₂的方程，求出F₁和F₂的大小，而圆柱体对容器底面的压力等于圆柱体的重力减去拉力，据此求出两种情况圆柱体对容器底面的压力差，再根据压强公式得出关系式（关于S的方程）；
（2）圆柱体没入水中时，杠杆平衡，圆柱体对容器底压力恰好为零，求出绳对杠杆A端的拉力，而此时圆柱体重等于拉力加上水的浮力，求出浮力，得出关于S的关系式；
由上面两个关系式联立方程组解得S的大小；利用体积公式求圆柱体的体积，知道其质量，利用密度公式求金属圆柱体的密度．

解答：解：
设小球挂在B点时，绳子对杠杆A端的拉力为F₁，圆柱体对容器底面的压力为N₁；小球挂在C点时，绳子对杠杆A端的拉力为F₂，圆柱体对容器底面的压力为N₂；小球P重为G₀；圆柱体重为G．
∵F₁×AO=G₀×OB，
∴F₁=

G0×OB

AO

，
∵F₂×AO=G₀×OC，
∴F₂=

G0×(OB-CB)

AO

，
∵F₁+N₁=G，F₂+N₂=G，
∴N₂-N₁=F₁-F₂，
△p=

N2-N1

S

=

F1-F2

S

，
∴F₁-F₂=△pS=

G0×OB

0.5m

-

G0×(OB-0.5m)

0.5m

=G₀，
即：2500Pa×S=G₀------------①
圆柱体没入水中时，杠杆平衡，圆柱体对容器底压力恰好为零，绳对杠杆A端的拉力：
F₃×0.5m=G₀×1.4m，
F₃+F_浮=G，
F_浮=ρ_水gV_排=10³kg/m³×10N/kg×S×0.1m=1000S，
2.8G₀+1000S=160N------------②
由①②式解得  S=0.02m²
V=Sh=0.02m²×0.1m=2×10^-3m³
ρ=

m

V

=

16kg

2×10-3m3

=8×10³kg/m³．
答：金属圆柱体的密度为8×10³kg/m³．

点评：本题考查了学生对密度公式、压强公式、杠杠平衡条件、阿基米德原理的掌握和运用，利用杠杠两次平衡借助圆柱体压强减小值求出圆柱体的底面积是本题的关键．