Question

16．由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半径为R的小球以速度为v运动时，所受的流体阻力的大小可用公式f=6πηRv表示（η为流体的粘滞系数，已知球的体积公式是V=4πR³/3）．
（1）小球在流体中运动时，速度越大，受到的阻力越大；
（2）密度为ρ、半径为R的小球在密度为ρ₀、粘滞系数为η的液体中由静止自由下落时的v-t图象如图所示，根据你所学过的相关知识判断：此时的小球受到3个力的作用；
（3）若小球从足够深的流体中静止自由下落，小球的运动情况为：速度开始越来越大，后做匀速运动；
（4）根据以上分析请推导出速度v_r的数学表达式．

Answer 1

分析 （1）根据公式f=6πηRv，来分析阻力f与速度v的关系．
（2）对小球进行受力分析，它在流体中下落受到重力、浮力和阻力的作用．
（3）由图形分析可知，当小球速度达到v_r时便匀速下落，处于平衡状态，G=F_浮+f．将数据代入公式化简即可．

解答 解：（1）由公式f=6πηRv可以看出，小球所受流体的阻力f与小球的速度v成正比例关系，所以，小球速度越大，所受阻力越大．
（2）小球在流体中下落时受重力、浮力和阻力的作用．
（3）由图象知小球的运动情况为速度开始越来越大，后做匀速运动．
（4）小球受到的重力：G=mg=ρVg=$\frac{4}{3}$πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=$\frac{4}{3}$πR³ρ₀g；
小球所受流体阻力：f=6πηRv．
由图象可知，当小球速度达到v_r时便匀速下落，处于平衡状态，此时小球所受合力为零，则G=F_浮+f．
即：$\frac{4}{3}$πR³ρg=$\frac{4}{3}$πR³ρ₀g+6πηRvr．
化简可得：v_r=$\frac{2{R}^{2}g（ρ-{ρ}_{0}）}{9η}$．
故答案为：（1）越大；（2）3；（3）速度开始越来越大，后做匀速运动；（4）v_r=$\frac{2{R}^{2}g（ρ-{ρ}_{0}）}{9η}$．

点评 此题实际上是一道大型的计算题，并且计算公式是课本上没有接触到的．题目的难度较大，它考查了学生的自学能力以及对新知识的整合能力、计算能力等各方面的能力．