Question

6．如图所示，柱形容器中装有适量的水，小刚用一个平底试管装入适量钢珠漂浮在液面，该试管的总质量200g，底面积为4厘米²，试管总长为20厘米．
（1）求水深为25厘米时，容器底部所受水的压强；
（2）将该试管在水中漂浮时，求容器底所受压力的增加量；
（3）若该试管在水中漂浮时，试管对应水面的位置A水，如图所示，若将该试管漂浮在ρ₁=0.8×10³kg/m³和ρ₂=1.2×10³kg/m³的液体，试管在两种液体液面对应分别为A₁、A₂．
a．请判断试管上位置A₁、A₂分别位于A_水的上方或下方，并选择其中一种液体计算说明．
b．若将试管漂浮在密度为ρ_x液体中，所对应液面为A_x，且ρ_x＜ρ₁，发现A_xA₁之间的距离恰好等于A_水A₁的距离，求液体密度ρ_x的大小．

Answer 1

分析 （1）根据密度计下表面浸入的深度和求出的液体密度，结合液体压强的计算公式，可以求得液体对密度计的底部压强．
（2）试管在水中漂浮时，可以利用漂浮在液面上的物体受到的浮力等于其重力来求容器底所受压力的增加量．
（3）a、根据物体的浮沉条件得出液面在A₁和A点时试管排开水的体积，则利用V_A1、V_A两体积相等可得出液面A₁与A_水的位置；
b、根据A_xA₁之间的距离恰好等于A_水A₁的距离，得出试管排开液体的体积关系，利用物体的浮沉条件得出试管漂浮在密度为ρ_x、ρ₁液体和水中的浮力关系，即可求出ρ_x．

解答 解：（1）容器底部所受水的压强：p=ρ_水gh=1×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2×10³Pa．
（2）该试管的总重力G=mg=200×10^-3kg×10N/kg=2N，
由于试管在水中，浮力等于重力，F_浮=G=2N，
则容器底所受压力的增加量△F=G_排=F_浮=2N；
（3）a、试管漂浮在水中时，F_浮水=G，
根据阿基米德原理F_浮=ρ_液gV_排得：ρ_水gV_排水=G，
试管漂浮在ρ₁液体中时，F_浮1=G，即ρ₁gV_排1=G，
所以ρ_水gV_排水=ρ₁gV_排1，
由于ρ₁=0.8×10³kg/m³和ρ_水=1×10³kg/m³，
所以V_排水＜V_排1，
由于试管底面积相同，根据V=SL可知：L_A＜L_A1，
所以，试管上位置A₁位于A_水的上方；
b、由于ρ₁＜ρ_水，A₁位于A水的上方；则ρ_x＜ρ₁时A_x位于A₁的上方；
由于A_xA₁之间的距离恰好等于A_水A₁的距离，设A_xA₁=A_水A₁=L，
则V_排水=sL_水，V_排1=s（L_水+L），V_排x=s（L_水+L+L），
由于试管漂浮在液面上，F_浮=G，则
F_浮水=F_浮1=F_浮x=G，
即ρ_水gV_排水=ρ₁gV_排1=ρ_xgV_排x，
则ρ_水gsL_水=ρ₁gs（L_水+L）=ρ_xgs（L_水+L+L），
即：1.0×10³kg/m³×L_水=0.8×10³kg/m³×（L_水+L）=ρ_x（L_水+L+L），
解得：ρ_x=0.6×10³kg/m³．
答：（1）水深为25厘米时容器底部所受水的压强为2×10³Pa；
（2）将该试管在水中漂浮时，容器底所受压力的增加量为2N；
（3）a．试管上位置A₁位于A水的上方、A₂水的下方．
b．液体密度ρ_x的大小为0.6×10³kg/m³．

点评 本题考查了阿基米德原理、物体的浮沉条件、液体压强的计算．解决此题难点是将阿基米德原理和物体的浮沉条件联合来使用．不应简单地将A、B两点的密度加起来除以2，本题考查了阿基米德原理的公式，涉及到漂浮时，浮力等于重力的特点．