Question

3． 如图甲是一副小型起重机吊起货物的图片，货物挂在动滑轮的下端，绳子的自由端通过放置在起重机上的卷扬机竖直向上拉动，最右端时为了防止吊起货物时起重机向左倾倒而挂的配重．起重机吊起重物时主要结构可简化成如图乙所示．已知AB、CD、DE水平且长度为1m，BC段的水平距离CF也为1m，前轮与地的接触点在B点的正下方，后轮与地的接触点在D点的正下方．起重机的自重（含配重）为3×10⁴N，重心在CD中点．起重机的钢丝绳重和滑轮与轴之间的摩擦不计，g取10N/kg．
（1）为使起重机吊起货物时不发生倾倒，求起重机最多能吊起货物的质量m；
（2）当起重机吊起质量m₁=2×10²kg的物体以v=0.5m/s的速度匀速上升时，卷扬机的输出功率P₁=1.1kW．求此时滑轮组的机械效率η；
（3）当起重机吊起质量m₂=3×10²kg的物体仍以v=0.5m/s的速度匀速上升时，求卷扬机的输出功率P₂．

Answer 1

分析 （1）以前轮圆心作为支点，将物重和配重分别看作动力和阻力，已知两力臂AB、（FC+$\frac{1}{2}$CD）的长，依据杠杆的平衡条件列式求解即可．
（2）根据W_有用=Gh=Gvt计算有用功；根据W_总=P₁t计算总功，由η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$计算机械效率
（3）根据P=Fv和F=$\frac{1}{n}$（G+G_动）先计算动滑轮重，再计算提起质量为物体m₂时绳子自由端拉力F′，最后根据P₂=F′×4v计算卷扬机的输出功率P₂．

解答 解：
（1）由乙图起重机相当于一个杠杆，如图所示：，
根据杠杆的平衡条件：m_货g×AB=G_起重机×（FC+$\frac{1}{2}$CD），
即：m_货×10N/kg×1m=3×10⁴N×（1m+$\frac{1}{2}$×1m），
解得：m_货=4.5×10³kg；
（2）设提起重物的时间为t，
此时滑轮组的机械效率：
η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$×100%=$\frac{Gvt}{{P}_{1}t}$×100%=$\frac{2×1{0}^{2}kg×10N/kg×0.5m/s×t}{1.1×1{0}^{3}W×t}$×100%≈90.9%；
（2）提起质量m₁物体时，由甲图可知通过动滑轮绳子的段数n=4，
钢绳自由端速度v_F=4v，
P₁=F4v，
F=$\frac{{P}_{1}}{4v}$=$\frac{1.1×1{0}^{3}W}{0.5m/s×4}$=550N，
起重机的钢丝绳重和滑轮与轴之间的摩擦不计，提起质量m₁物体时，F=$\frac{1}{4}$×（G+G_动），
G_动=4F-G=4×550N-2×10²kg×10N/kg=200N，
当提起质量为m₂物体的时钢绳自由端拉力：
F′=$\frac{1}{4}$×（G′+G_动）=$\frac{1}{4}$×（3×10²kg×10N/kg+200N）=800N，
此时卷扬机的输出功率：
P₂=F′×4v=800N×4×0.5m/s=1600W．
答：（1）为使起重机吊起货物时不发生倾倒，起重机最多能吊起货物的质量为4.5×10³kg；
（2）当起重机吊起质量m₁=2×10²kg的物体以v=0.5m/s的速度匀速上升时，卷扬机的输出功率P₁=1.1kW．此时滑轮组的机械效率为90.9%；
（3）当起重机吊起质量m₂=3×10²kg的物体仍以x=0.5m/s的速度匀速上升时，卷扬机的输出功率为1600W．

点评 本题考查了杠杆的平衡条件、机械效率和功率的计算，过程复杂，有一定难度．关键是在不计绳重和摩擦时，用好公式F=$\frac{1}{n}$（G+G_动）．