Question

4．图甲是某校科技小组自制电子秤的原理图，其中电源电压恒为定值U，定值电阻的阻值为R₀，总长为L的电阻丝总阻值为R，此电阻丝上的滑片与托盘、弹簧上端固定在一起，并能随弹簧的伸缩沿电阻丝上下滑动（接触良好），且不称重物时滑片恰好在电阻丝的最上端，若托盘、弹簧的质量以及弹簧的电阻可以忽略不计，电阻丝接入电路的阻值与其连入电路的长度成正比，弹簧压缩的长度△L与所受压力F的关系为F=k△L（其中k为已知常量），请根据上述内容和条件解答如下问题：
（1）指出当闭合开关S、盘中没有放物体时，电压表的示数值；
（2）推导出此电子称工作时，电压表示数U_x与被测物体质量m之间的关系式；
（3）若把电压表的表头改装成能直接读出质量值的电子称表头时，为了使电子称表头示数均匀，可以利用原有器材在如图乙的基础上进一步改进，请你画出改进后电压表的连接位置．

Answer 1

分析 （1）当闭合开关S、盘中没有放物体时，分析滑动变阻器滑片的位置，得出电压表的示数；
（2）当在托盘上放质量为m的物体时，设弹簧缩短的长度为x，依据胡可定律得出x与质量m的关系；由题意可知，滑片向下移动的长度和弹簧缩短的长度相同，可得电阻丝接入电路的阻值，根据串联电路的特点得出电压表示数与m的关系；
（3）改变电压表的位置，设法使干路电流不变，可得测量电路图．

解答 解：
（1）由图可知，电压表和滑动变阻器并联，当闭合开关S、盘中没有放物体时，滑动变阻器连入的电阻为0，分压为0，电压表的示数为0；
（2）当在托盘上放质量为m的物体时，设弹簧缩短的长度为x
依据胡可定律F=k△L得：
x=$\frac{1}{k}$mg，
由题意可知，滑片向下移动的长度和弹簧缩短的长度相同
则电阻丝接入电路的阻值为R_接=$\frac{x}{L}$R，
电压表示数U_x=U-IR₀
=U-$\frac{U}{{R}_{0}+\frac{x}{L}R}$R₀
=U-$\frac{U{R}_{0}}{{R}_{0}+\frac{\frac{1}{k}mg}{L}R}$
=U-$\frac{U{R}_{0}}{{R}_{0}+\frac{mg}{kL}R}$；
（3）电路图如图所示：

根据胡克定律，有：x=$\frac{1}{k}$mg，
滑动变阻器的连入电阻：
R_x=$\frac{x}{L}$R，
根据电流相同，有：$\frac{{U}_{x}}{{R}_{x}}$=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$
则U_x=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$R_x=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$×$\frac{x}{L}$R=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$×$\frac{mgR}{kL}$=$\frac{UgR}{（R+{R}_{0}）kL}$m，
这样，使电子称表头示数均匀．
答：（1）当闭合开关S、盘中没有放物体时，电压表的示数为0；
（2）此电子称工作时，电压表示数U_x与被测物体质量m之间的关系式为U_x=U-$\frac{U{R}_{0}}{{R}_{0}+\frac{mg}{kL}R}$；
（3）如图所示．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律的应用，难点在于将胡克定律和欧姆定律结合起来使用，属于难题！