Question

如图甲所示是-个暗盒，盒内有一个电压为9伏的电池组、两个电阻和若干导线组成的电路．盒内电路分别跟盒外A、B、C、D四个接线端中的三个接线端相连．若用电流表测量各接线端之间的电流，结果发现：当把电流表接在AC两端时，它的示数为1.5安；当把电流表接在AD两端时，它的示数为0.75安；当把电流表接在AB两端或BC两端或BD两端时，它的示数均为零．根据上述测量结果．完成下列要求：
（1）在图甲上画出能表示盒内电路连接情况的电路图．并求出两个电阻的阻值．
（2）当AB两端接电流表A₁，CD两端接电流表A₂，BD两端接导线时，电流表A₁的示数I₁与电流表A₂的示数I₂之比I₁：I₂为多少？
（3）若在CD之间接一个最大电阻为22欧的滑动变阻器R₃，再用阻值为10欧的电阻R₄连接B端和滑动变阻器的滑片P，并在AB间接一个电流表，如图乙所示．则在滑片P由最上端移至最下端的过程中，电流表示数的变化范围是多少？R₄两端的电压变化范围是多少？

Answer 1

分析：（1）盒内电路分别跟盒外A、B、C、D四个接线端中的三个接线端相连，有一个接线柱没有与盒内电路相连，因电流表接在A、C两端和接在A、D两端时，它都有示数；所以A、C、D与盒内电路相连，B没有与盒内电路相连；
当把电流表接在AC两端时，它的示数为1.5安，假设为图甲．
当把电流表接在AD两端时，它的示数为0.75安；假设为图乙．
综合甲、乙两图和B没有与盒内电路相连；得到丙图．暗箱内部连接如图丙．
根据R=

U

I

，求出R₁和R₂的阻值．
（2）当AB两端接电流表A₁，CD两端接电流表A₂，BD两端接导线时，R₁和R₂并联，电流表A₁测量干路电流，电流表A₂的测量R₁支路电流．内部电路连接如图丁．根据并联电路电流特点可求电流表示数之比．
（3）若在CD之间接一个最大电阻为22欧的滑动变阻器R₃，再用阻值为10欧的电阻R₄连接B端和滑动变阻器的滑片P，并在AB间接一个电流表，则电路连接情况如图戊所示时．电路连接是R₁与R₃的上半部串联，R₂与R₃的下半部串联，然后两个串联的部分又并联，并联后再与R₄串联，在滑片P由最上端移至最下端的过程中，在并联电路中，当并联电路的两条支路上的电阻相等时，并联电路的总电阻最大，电路电流最小；当并联电路中的一条支路上的电阻最小时，并联电路的总电阻最小，电路电流最大．由此可求电流表示数和R₄两端电压的变化．

解答：解：（1）经分析，暗箱内部连接如丙图，
R₁=

U

IAC

=

9V

1.5A

=6Ω．
R₂=

U

IAD

=

9V

0.75A

=12Ω．
答：电路图如图丙；电阻值分别为6Ω、12Ω；
（2）当AB两端接电流表A₁，CD两端接电流表A₂，BD两端接导线时，R₁和R₂并联接在9V的电源上，电流表A₁测量干路电流，示数为I₁=I_AC+I_AD=1.5A+0.75A=2.25A；
电流表A₂测量R₁支路电流，示数为I₂=I_AC=1.5A；
∴I₁：I₂=2.25A：1.5A=3：2．
答：电流表A₁的示数I₁与电流表A₂的示数I₂之比
I₁：I₂为3：2；
（3）若在CD之间接一个最大电阻为22欧的滑动变阻器R₃，再用阻值为10欧的电阻R₄连接B端和滑动变阻器的滑片P，并在AB间接一个电流表，则电路连接情况如图戊所示时；
∵R=R₁+R₂+R₃=6Ω+12Ω+22Ω=40Ω．
∴两个支路的电阻之和一定，当滑片移动在某处时，使各支路电阻之和相等，且每条支路电阻R′各为20Ω，并联电路的总电阻最大为R_并=

R′

2

=

20Ω

2

=10Ω；
∴干路中的电流I_最大=

U

R并+R4

=

9V

10Ω+10Ω

=0.45A；
R₄两端的电压U₄′=I_最大R₄=0.45A×10Ω=4.5V．
当并联电路中的一条支路上的电阻最小时，因R₁＜R₂，即R₂和R₃串联后再与R₁并联，电路的总电阻最小，电路电流最大．
∴

1

R并′

=

1

R1

+

1

R2+R3

=

1

6Ω

+

1

12Ω+22Ω

=

20

102Ω

；
∴R_并′=5.1Ω
∴干路中的电流I_最小=

U

R′并+R4

=

9V

5.1Ω+10Ω

≈0.6A；
R₄两端的电压U₄″=I_最小R₄=0.15A×10Ω=1.5V．
所以电流表示数变化范围是0.45A---0.6A；R₄两端电压的变化范围是1.5V---4.5V．

点评：（1）对于暗箱问题，首先根据已知条件，进行假设，在假设条件下，计算结果与已知条件相符，假设正确，否则假设错误．
（2）电阻并联时，两个支路的总电阻一定时，当并联两个支路的电阻相等时，并联的总电阻最大．
电阻并联时，两个支路的总电阻一定时，当并联一条支路的电阻越小时，并联的总电阻就越小．