Question

8．演绎式探究-研究机械能守恒与平抛运动：

（1）如图甲，质量为m的小球从高度为h的光滑斜面顶端由静止自由滑下，此过程机械能守恒，即物体的动能（$\frac{1}{2}$mv²）和势能（mgh）发生相互转化，但机械能的总量保持不变．则小球到达斜面底端的速度v=$\sqrt{2gh}$．
如图乙，将物体以一定的初速度v₀沿水平方向抛出（不计空气阻力），物体做平抛运动，在竖直方向做匀加速运动，下落的高度h=$\frac{1}{2}$gt²；在水平方向做匀速运动，则运动的距离s=v₀$•\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
（2）如图丙所示，小球沿长度为l，倾角为θ的光滑斜面AB由静止自由滑下，经过高度为h的光滑桌面BC后做平抛运动，落到前方的D点，则桌边到D点的距离为s=2$\sqrt{glsinθ}$．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律，将条件代入求出物体到达底端的速度；
由平抛运动水平方向运动的距离r=v₀t求出运动时间，代入在竖直方向下落得高度y=$\frac{1}{2}$gt²，得出y与r的关系式；
（2）根据机械能守恒求得C点的速度，再利用平抛运动原理公式推理证明．

解答 解：（1）因为质量为m的小球从高度为h的光滑斜面顶端由静止自由滑下，到达斜面底端的速度为v，过程中机械能守恒，所以
     mgh=$\frac{1}{2}$mv²，故小球的速度为：v=$\sqrt{2gh}$；
将物体以一定的初速度v₀沿水平方向抛出（不计阻力），物体做平抛运动，在水平方向运动的距离s=v₀t，
因为运动时间为t=$\frac{s}{{v}_{0}}$，所以在竖直方向下落得高度h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$g（$\frac{s}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$g$\frac{{s}^{2}}{{{v}^{2}}_{0}}$因此，s=v₀$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）如图丁所示，小球沿长度为l的光滑斜面AB由静止自由滑下，则过程中机械能守恒
因为mgh=$\frac{1}{2}$mv²
所以mglsinθ=$\frac{1}{2}$m${{V}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${{V}_{C}}^{2}$
所以${{V}_{C}}^{2}$=2glsinθ
又因为小球从C点开始做平抛运动：h=$\frac{1}{2}$gt²得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以s=v_ct
s=$t•\sqrt{2glsinθ}$=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$•$\sqrt{2glsinθ}$=2$\sqrt{hlsinθ}$．
故答案为：（1）$\sqrt{2gh}$；=v₀$•\sqrt{\frac{2h}{g}}$；（2）2$\sqrt{glsinθ}$．

点评 此题考查学生对于机械能守恒定律的理解以及对于平抛运动原理的掌握．熟悉平抛运动的公式是解题关键．