Question

（2011?北京一模）如图所示，电源两端电压保持不变，当开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到B端时，变阻器连入电路电阻为R_B，此时电流表的示数为I₁，电阻R₂的电功率为P₂，电阻R_B的电功率为P_B；当开关S₁断开、S₂闭合时，电流表的示数为I₂，电阻R₂的电功率为P₂’．已知P₂：P₂′=49：144．求：
（1）I₁：I₂；
（2）当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P在C点时，变阻器接入电路的电阻为Rc，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂，电流表的示数为I₃，此时电阻R_C的电功率为P_C．已知U₁：U₂=3：8，I₂：I₃=9：7．试计算第一种状态和第三种状态中连入电路中的变阻器消耗的电功率之比P_B：P_C．
（请画出相关电路状态的等效电路图）

Answer 1

分析：分析电路图，得出开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到B端时，等效电路图如图①；当开关S₁断开、S₂闭合时，等效电路图如图②；当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P在某点C时，等效电路图如图③．
（1）由图①②，知道P₂：P₂′=49：144，利用P=I²R求I₁：I₂；
（2）根据图③，利用欧姆定律和U₁：U₂=3：8可出电阻关系式④（8R₁+5R_C=3R₂ ）
由图①可知：I₁=

U

RB+R2

，由图②可知：I₂=

U

R1+R2

，由图③可知：I₃=

U

R1+RC+R2

，
由于I₂：I₃=9：7，利用欧姆定律可得电阻关系式⑤（2R₁+2R₂=7R_C ）
由④⑤可得电阻关系式⑥（R₂：R_C=3：1，R₁：R_C=1：2），
由于I₁：I₂=7：12，利用欧姆定律可得电阻关系式⑦（12R₁+5R₂=7R_B）
将⑥代入⑦得R_C：R_B=1：3，
由于I₁：I₂=7：12，I₂：I₃=9：7，可得∴I₁：I₃=3：4，再根据P=I²R得出P_B：P_C．

解答：解：
开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到B端时，等效电路图如图①所示；

当开关S₁断开、S₂闭合时，等效电路图如图②所示；

当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P在某点C时，等效电路图如图③所示；

（1）由图①②可知：

P2

P′2

=

I 2 1 R2

I 2 2 R2

=

I 2 1

I 2 2

，
∵P₂：P₂′=49：144，
∴I₁：I₂=7：12；
（2）由图③可知：

U1

U2

=

I3(R1+RC)

I3(RC +R2)

=

R1+RC

RC +R2

=

3

8

，
解得：8R₁+5R_C=3R₂，----------④
由图①可知：I₁=

U

RB+R2

，
由图②可知：I₂=

U

R1+R2

，
由图③可知：I₃=

U

R1+RC+R2

，
∵I₂：I₃=9：7，
即

U

R1+R2

：

U

R1+RC+R2

=9：7，
解得：2R₁+2R₂=7R_C，----------------⑤
由④⑤可得：
R₂：R_C=3：1，R₁：R_C=1：2，--------------⑥
∵I₁：I₂=7：12，
即

U

RB+R2

：

U

R1+R2

=7：12，
解得：12R₁+5R₂=7R_B，----------------⑦
将⑥代入⑦得：
R_C：R_B=1：3，
∵I₁：I₂=7：12，I₂：I₃=9：7，
∴I₁：I₃=3：4，

PB

PC

=

I 2 1 RB

I 2 3 RC

=

(3)2×3

42×1

=

27

16

．
答：（1）I₁：I₂为7：12；
（2）第一种状态和第三种状态中连入电路中的变阻器消耗的电功率之比为27：16．

点评：本题考查了学生对欧姆定律、电功率公式、串联电阻特点的掌握和运用，画出三种情况下的等效电路图是本题的突破口，确定R_C与R_B的大小关系是本题的关键．