Question

（2011?北京一模）如图所示的电路中，电源两端的电压和灯泡的电阻均保持不变．当只闭合开关S和S₁时，灯L₁正常发光，电流表A的示数为I₁，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂，电阻R₃消耗的电功率为P₃；当只闭合开关S和S₂时，电流表A的示数为I₂，电压表V₁的示数为U₁′，电阻R₄消耗的电功率为P₄．已知：3U₁=2U₂，U₁=2U₁′，P₃=2W，P₄=2.5W．求：
（1）电流I₁与I₂的比值；
（2）电阻R₃与R₄之比；
（3）灯L₁的额定电功率P₁；
（4）通过开关的断开或闭合，电路处于不同状态．在电路的各工作状态中，所消耗的最大电功率P_max与最小电功率P_min的比值．

Answer 1

分析：先画出三种情况的等效电路图；
（1）由甲乙两图中电压表V₁的示数关系和欧姆定律求出两电流之间的关系；
（2）根据甲乙两图中电阻R₃、R₄消耗的电功率和P=I²R，以及电流关系求出电阻R₃与R₄之比；
（3）先根据甲乙两图中的电流关系和电源的电压不变并结合欧姆定律表示出电阻关系，再由甲图两电压表的示数关系和欧姆定律表示出电阻关系，联立方程得出R_L1、R₃之间的关系，进一步根据P=I²R求出灯L₁的额定电功率；
（4）根据P=

U2

R

可知，当开关S、S₁、S₂和S₃全闭合时，R₃与R₄并联，此时电路的电阻最小，总功率最大；当只闭合开关S和S₂时，L₁、L₂与R₄串联，此时电路中电阻最大，总功率最小；分别求出两种情况下的总电阻，利用P=

U2

R

求出比值关系．

解答：解：当只闭合开关S和S₁时，等效电路如图甲所示；
当只闭合开关S和S₂时，等效电路如图乙所示；
当开关S、S₁、S₂和S₃全闭合时，等效电路如图7丙所示；

（1）由甲、乙两图得：

U1

U1′

=

I1RL2

I2RL2

=

2

1

，
解得

I1

I2

=

2

1

----------①
（2）由甲、乙两图得：

P3

P4

=

I 2 1 R3

I 2 2 R4

=

2W

2.5W

=

4

5

-----②
由①式②式解得：

R3

R4

=

1

5

-------③
（3）电源两端电压U不变，

I1

I2

=

RL1+ R   L2 +R4

RL1+RL2+R3

=

2

1

------④
在甲图中：

U1

U2

=

RL2

RL1+RL2

=

2

3

，
解得：

RL1

RL2

=

1

2

---------⑤
由③式④式和⑤式解得：R_L1=R₃，
在甲图中：灯L₁正常发光：P₁=

RL1

R3

P₃=2W；
（4）当开关S、S₁、S₂和S₃全闭合时，电路如图丙，R₃与R₄并联，电路消耗电功率最大为P_max；
当只闭合开关S和S₂时，电路如图乙，L₁、L₂与R₄串联，电路消耗电功率最小为P_min．
在丙图中，R_并=

R3×R4

R3+R4

=

5

6

R₃；
在乙图中，R_串=R_L1+R_L2+R₄=8R₃，
因电源的电压不变，根据P=

U2

R

可得：

Pmax

Pmin

=

R串

R并

=

48

5

．
答：（1）电流I₁与I₂的比值为2：1；
（2）电阻R₃与R₄之比为1：5；
（3）灯L₁的额定电功率为2W；
（4）在电路的各工作状态中，所消耗的最大电功率P_max与最小电功率P_min的比值为48：5．

点评：本题目难度较大，需要学生先化简电路图，就开关断开闭合时画出合适的电路图，并且结合欧姆定律、电功率公式及其相关的比例关系，利用数学知识解决相关知识点．