Question

16．如图所示，电源电压保持不变，R₁、R₂和R₃三个电阻中有两个电阻的阻值相等，当所有开关都闭合时电路总功率是只闭合S₁时电路总功率的4.5倍，则R₁和R₂的比值最大为（　　）

• A． 1：1
• B． 2：1
• C． 3：1
• D． 5：4

Answer 1

分析 当所有开关都闭合时，R₂和R₃并联，只闭合S₁时R₁、R₂串联，由于电源电压一定，根据总功率的关系和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$得出三个电阻的关系式，根据有两个电阻的阻值相等的特点分别判断即可．

解答 解：当所有开关都闭合时，R₂和R₃并联，则总功率P_并=P₂+P₃=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$；
只闭合S₁时R₁、R₂串联，根据电阻串联的特点可知：R_串=R₁+R₂，
则总功率P_串=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{串}}$=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
已知：P_并=4.5P_串，
即：$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=4.5×$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$；
所以，（R₁+R₂）（R₂+R₃）=4.5R₂R₃；
A、若R₁和R₂的比值为1：1，则R₁和R₂与R₃不相等，所以，左边=（R₂+R₂）（R₂+R₃）=2R₂²+2R₂R₃，与4.5R₂R₃不一定相同，故A错误；
B、若R₁和R₂的比值为2：1，则
R₂=R₃时，所以，
左边=（2R₂+R₂）（R₂+R₂）=6R₂²，右边=4.5R₂R₂=4.5R₂²，等式不成立，
R₁=R₃时，所以，
左边=（2R₂+R₂）（R₂+2R₂）=9R₂²，右边=4.5R₂×2R₂=9R₂²，等式成立，故B正确；
C、若R₁和R₂的比值为3：1，则
R₂=R₃时，所以，
左边=（3R₂+R₂）（R₂+R₂）=8R₂²，右边=4.5R₂R₂=4.5R₂²，等式不成立，
R₁=R₃时，所以，
左边=（3R₂+R₂）（R₂+3R₂）=16R₂²，右边=4.5R₂×3R₂=13.5R₂²，等式不成立，故C错误；
D、若R₁和R₂的比值为5：4，则
R₂=R₃时，所以，
左边=（1.25R₂+R₂）（R₂+R₂）=4.5R₂²，右边=4.5R₂R₂=4.5R₂²，等式成立，
R₁=R₃时，所以，
左边=（1.25R₂+R₂）（R₂+1.25R₂）=5.0625R₂²，右边=4.5R₂×1.25R₂=5.625R₂²，等式不成立，故D错；
故选B．

点评 本题难度大，要弄清电路的连接形式，根据已知条件，灵活运用公式列出计算式，仔细推算即可．