Question

18．质量相等、边长分别为a、b、c（a＜b＜c）的甲、乙、丙三个匀质正方形放在水平桌面上，若甲、乙沿水平方向均切去厚度为h的一块后，剩余部分对桌面的压强相等；若甲、丙沿水平方向均切去厚度为h′的一块后，剩余部分对桌面的压强相等．则（　　）

• A． h′＞h
• B． h′＜h
• C． h′=h
• D． h′和h的大小无法判断

Answer 1

分析 对于密度分布均匀的正方体、长方体和圆柱体，对水平桌面的压强可以利用公式p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=ρgh计算；
根据三个正方体切去一部分后对水平桌面压强相等，确定等量关系，列出正确的方程，化简求解．

解答 解：设三个正方体的边长分别为a、b、c，如图所示，

已知a、b两个正方体切前质量相等，即ρ_aa³=ρ_bb³--①，
当甲和乙切去h后，甲的高度为a-h，乙的高度为b-h，
由p=ρgh可知，两者对桌面的压强：
ρ_ag（a-h）=ρ_bg（b-h），
化简得ρ_a（a-h）=ρ_b（b-h）--②；
①÷②得$\frac{{a}^{3}}{a-h}$=$\frac{{b}^{3}}{b-h}$，
化简得h=$\frac{ab（a+b）}{{a}^{2}+ab+{b}^{2}}$，
所以$\frac{1}{h}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+ab}{ab（a+b）}$=$\frac{（a+b）^{2}-ab}{ab（a+b）}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b（a+b）}$--③；
已知a、c两个正方体切前质量相等，即ρ_aa³=ρ_cc³--④，
当甲和丙切去h′后，甲的高度为a-h′，丙的高度为c-h′，
由p=ρgh可得，两者对桌面的压强为
ρ_ag（a-h′）=ρ_cg（c-h′），
化简得ρ_a（a-h′）=ρ_c（c-h′）--⑤．
④÷⑤得$\frac{{a}^{3}}{a-h′}$=$\frac{{c}^{3}}{c-h′}$，
化简得h′=$\frac{ac（a+c）}{{a}^{2}+ac+{c}^{2}}$，
所以$\frac{1}{h′}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+ac}{ac（a+c）}$=$\frac{（a+c）^{2}-ac}{ac（a+c）}$=$\frac{a+c}{ac}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{a+c}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{c（a+c）}$--⑥；
在③和⑥中，
因为b＜c，所以b（a+b）＜c（a+c），
即$\frac{a}{b（a+b）}$＞$\frac{a}{c（a+c）}$，
也就是$\frac{1}{h}$＞$\frac{1}{h′}$
所以h′＞h．
故选A．

点评 此题是一道学科综合题，解答的关键是根据两次压强相同，利用数学上的不等式关系，得到两次切去的高度大小关系．