Question

某工厂设计了一个蓄水池，如图25所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不变。罐底有一个小出水口，面积为S₁，S₁=0.1m².孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连, S₂=0.24m²。杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱体浮子，横截面积为S₃，S₃=0.8m²，BO是杠杆总长的。原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h₂，h₂=0.7m，活塞恰好能赌住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有一小段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子浸入水深为h₃，h₃=1m，为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的质量减去一部分，设减去的质量为m′。（g取10N/kg，杠杆水平时，认为BO仍是杠杆总长的，活塞及连杆和杠杆的质量均不计，杠杆所受浮力不计，浮子浸入水中体积变化引起的蓄水池液面变化忽略不计。）试求

（1）活塞应上升的高度是多少；

（2）浮子应减去质量m′是多少。

Answer 1

设浮子原来重力为G，杠杆长为。浮子减重G′后，由倾斜变为水平，如图5所示，杠杆C端上升高度为h_EC=h₃-h₂,                    (1分)                           

根据数学知识，三角形BDO相似于三角形BEC

所以 

                                           

活塞上升高度DO段长为Δh=。          (1分)                       

活塞减重前，杠杆平衡时，

以浮子为研究对象，C端受到的合力为F_浮-G=（S₃ h₃ρ_水g-G）

O点受到的力为F_压=ρ_水gS₂(h₁+Δh)

根据杠杆平衡有：

  （F_浮-G）_BE=F_{压 BD}

（S₃ h₃ρ_水g-G）=ρ_水gS₂(h₁+Δh)       (1)      (1分)

浮子减重后，杠杆平衡时，以杠杆为研究对象，进行受力分析：

C端受到的合力为

F′_浮-(G-G′)= 〔S₃h₂ρ_水g-( G-G′)〕

O点受到的力为F´_压=ρ_水gS₁h₁

根据杠杆平衡有：

〔S₃h₂ρ_水g-( G-G′)〕=ρ_水gS₁h₁      (2)       (1分)

解上面的联立方程，可得

 G´=ρ_水g〔S₁h₁+3S₃(h₃-h₂)-S₂(h₁+〕         (1分)

带入已知数据解得：G′=920N                  (1分)

注：正确画出受力分析图                          （1分）