Question

（2013?北京一模）如图甲所示，通过滑轮组打捞河水里一个圆柱形重物A，打捞前重物A下表面受到水的压强是5×10⁴Pa．在整个打捞过程中，重物A始终以0.02m/s的速度上升．滑轮组绳端的拉力F的功率随时间变化的图象如图21乙所示，t₂-t₁=50S；重物在水面下被提升的过程机械效率为η₁，当重物完全被打捞出水后机械效率为η₂，η₁：η₂=15：16；第二次打捞重物B时，重物B在水面下被提升的过程中滑轮组的绳端所受拉力为140N，机械效率为η₃．已知A的密度为ρ_A，体积为V_A，B的密度为ρ_B，体积为V_B，ρ_A：ρ_B=4：3，V_A：V_B=5：8．忽略水的阻力、绳重，g取10N/kg．求：
（1）物体A的密度        
（2）t₁       
（3）η₁：η₃．

Answer 1

分析：（1）由图读出物体在水中时和出水后拉力的功率，根据P=Fv求出拉力大小，根据机械效率公式η=

W有用

W总

列出等式，求出物体A的密度；
（2）设物体A的高度为h，打捞前A的下表面到水面的距离为H，求出物体上表面到液面的距离，根据v=

s

t

求出时间；
（3）根据机械效率公式η=

W有用

W总

列出第三次机械效率的等式，求出第一次和第三次机械效率的比值．

解答：解：（1）设A物体在水下时A所受绳的拉力为T₁，滑轮绳端拉力为F₁，打捞出水面后A所受绳的拉力为T₂，滑轮绳端拉力为F₂，
由图象知，物体出水前的拉力功率为P₁=24W，出水后的功率P₂=30W，绳子的移动速度v_绳=3v_物=3×0.02m/s=0.06m/s，
∵P=Fv
∴出水前的拉力：F₁=

P1

v绳

=

24W

0.06m/s

=400N，
出水后的拉力：F₂=

P2

v绳

=

30W

0.06m/s

=500N，
出水前的机械效率：η₁=

W有用

W总

=

(GA-F浮A)h

F1×3h

=

ρAgVA-ρ水gVA

3F1

，
出水后的机械效率：η₂=

W有用

W总

=

GAh

F2×3h

=

ρAgVA

3F2

，
∵η₁：η₂=15：16
∴

η1

η2

=

ρAgVA-ρ水gVA 3F1

ρAgVA 3F2

=

(ρA-ρ水)F2

ρAF1

=

15

16

，
解得：ρ_A=4×10³kg/m³；
（2）设物体A的高度为h，打捞前A的下表面到水面的距离为H，
∵p=ρgH
∴打捞前A的下表面到水面的距离：
H=

p

ρ水g

=

5×104Pa

1×103kg/m3×10N/kg

=5m，
物体的高度：h=v_物（t₂-t₁）=0.02m/s×50s=1m，
物体到水面的距离：s=H-h=5m-1m=4m，
物体上升的时间：t₁=

s

v物

=

4m

0.02m/s

=200s；
（3）重物B在水面下被提升的过程中滑轮组的机械效率：
η₃=

W有用

W总

=

(GB-F浮B)h

3F3h

=

ρBgVB-ρ水gVB

3F3

，
又因为：ρ_A：ρ_B=4：3，V_A：V_B=5：8，
所以：

η1

η3

=

ρAgVA-ρ水gVA 3F1

ρBgVB-ρ水gVB 3F3

=

(ρA-ρ水)× 5 8

F1

×

F3

3 4 ρA-ρ水

=

3× 5 8 ×140

400×2

=

21

64

．
答：（1）物体A的密度为4×10³kg/m³；
（2）时间t₁为200s；
（3）η₁：η₃=21：64．

点评：本题是力学计算的压轴题，几乎包括了力学的各种计算．本题包括力的分析、平衡力、浮力、绳子的段数、功率、压力、液体压强、体积、速度、密度、重力、机械效率等，综合性很强，难度很大．