Question

1．某科技小组设计的提升重物的装置如图甲所示．图中水平杆CD与竖直杆EH、DI组合成支架固定在水平地面上．小科站在地面上通过滑轮组提升重物，滑轮组由动滑轮P和动滑轮Q（动滑轮P和动滑轮Q的质量相等）以及安装在水平杆CD上的定滑轮组成．小科以拉力F₁匀速竖直提升物体A的过程中，物体A的速度为υ₁，滑轮组的机械效率为η_A．小科以拉力F₂匀速竖直提升物体B的过程中，物体B的速度为υ₂，滑轮组的机械效率为η_B．拉力F₁、F₂做的功随时间变化的图象分别如图乙中①、②所示．已知：υ₁=3υ₂，物体A的体积为V_A，物体B的体积为V_B，且3V_A=2V_B，物体A的密度为ρ_A，物体B的密度为ρ_B，且8ρ_A=7ρ_B．（不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦）求：

（1）A物体和B物体的重力之比；
（2）两次拉物体时拉力的功率之比；
（3）拉力F₁、F₂之比；
（4）机械效率η_B与η_A之差．

Answer 1

分析 （1）根据两物体的体积关系和密度关系，利用密度公式和重力公式计算出物重G_A和G_B之比；
（2）根据题中乙图W-t图象提供的信息，可利用公式P=$\frac{W}{t}$计算出拉力F₁和F₂的做功功率P₁和P₂之比；
（3）知道物体A、B运动速度关系，可利用P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv计算出拉力F₁和F₂之比；
（4）利用F=$\frac{1}{2}$（G_物+G_动），求出拉力的大小关系；从而得出动滑轮和物重G_A和G_B关系；再利用效率公式求两种情况下的机械效率求差值．

解答 解：（1）两物体A、B的体积3V_A=2V_B，即：$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}$=$\frac{2}{3}$，
两物体A、B的密度8ρ_A=7ρ_B，即：$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{7}{8}$，
由G=mg=ρVg得，两次所拉物体的重力之比为：
$\frac{{G}_{A}}{{G}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{ρ}_{B}{V}_{B}g}$=$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$×$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{7}{8}$=$\frac{7}{12}$，
（2）由图乙W-t图象可知：
当时间t=2s时，拉力F₁做的功W₁=180J，拉力F₂做的功W₂=90J，
由P=$\frac{W}{t}$得，两次拉力的功率之比为：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{\frac{{W}_{1}}{t}}{\frac{{W}_{2}}{t}}$=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$=$\frac{180J}{90J}$=$\frac{2}{1}$．
（3）由图甲可知，当物体A的速度为v₁时，绳子自由端的速度为v₁′=4v₁，
当物体B的速度为v₂时，绳子自由端的速度为v₂′=4v₂，
又因为v₁=3v₂，所以v₁′=3v₂′，即$\frac{{v}_{1}^{′}}{{v}_{2}^{′}}$=$\frac{3}{1}$，
由P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv得，拉力F₁、F₂之比为：
$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{\frac{{P}_{1}}{{v}_{1}^{′}}}{\frac{{P}_{2}}{{v}_{2}^{′}}}$=$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$×$\frac{{v}_{2}^{′}}{{v}_{1}^{′}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
（4）不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦，
拉动物体A和物体B的拉力：
F₁=$\frac{1}{2}$（G_A+G_动），F₂=$\frac{1}{2}$（G_B+G_动），
因为$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
则$\frac{{G}_{A}+{G}_{动}}{{G}_{B}+{G}_{动}}$=$\frac{2}{3}$，
又因为$\frac{{G}_{A}}{{G}_{B}}$=$\frac{7}{12}$，
G_动=$\frac{3}{7}$G_A，G_动=$\frac{1}{4}$G_B，
η_A=$\frac{{W}_{有A}}{{W}_{总A}}$=$\frac{{G}_{A}h}{（{G}_{A}+{G}_{动}）h}$=$\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+\frac{3}{7}{G}_{A}}$=70%，
η_B=$\frac{{W}_{有B}}{{W}_{总B}}$=$\frac{{G}_{B}h}{（{G}_{B}+{G}_{动}）h}$=$\frac{{G}_{B}}{{G}_{B}+\frac{1}{4}{G}_{B}}$=80%，
η_B-η_A=80%-70%=10%．
答：（1）A物体和B物体的重力之比为7：12；
（2）两次拉物体时拉力的功率之比为2：1；
（3）拉力F₁、F₂之比为2：3；
（4）机械效率η_B与η_A之差为10%．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对质量公式、重力公式、功率公式、效率公式及其公式变形的掌握和运用，知识点多、综合性强，要求灵活运用所学知识．本题关键：一是n的确定（直接从动滑轮上引出的绳子股数），二是不计摩擦和绳重时，F=$\frac{1}{2}$（G_物+G_动），三是不计摩擦和绳重时，W_额=G_动h．