Question

2．重力为2牛，底面积为2×10^-2米²的圆柱形容器放在水平面上，容器内水的深度为0.1米．求：

物体	密度	体积
A	ρ	2V
B	3ρ	V
C	2ρ	1.5V

（1）求水对容器底部的压强和压力；
（2）求容器对桌面的压力和压强；
（3）若将此容器放在面积为4×10^-2米²的正方形模板中央，并置于水平地面上．现有物体A、B、C（其密度，体积的关系如表所示），请选择一个，当把物体浸没在容器内水中后（水不会溢出），可使水对容器底部压强的增加量△p_水与水平地面受到的压强增加量△p_地的比值最小．
①选择A物体（选填“A”、“B”或“C”）．
②求△p_水与△p_地的最小比值．

Answer 1

分析 （1）已知水的深度，根据p=ρgh求出水对容器底部的压强，根据F=pS求出水对容器底部的压力；
（2）根据V=Sh求出容器内水的体积，根据m=ρV求出水的质量，再根据G=mg求出水的重力，容器对桌面的压力等于水和容器的重力之和，根据p=$\frac{F}{S}$求出容器对桌面的压强；
（3）当把物体浸没在容器内水中后（水不会溢出），排开水的体积和自身的体积相等，根据V=Sh求出容器内水面上升的高度，根据p=ρgh表示出水对容器底部压强的增加量；水平面上物体的压力和自身的重力相等，模板对地面压力的增加量等于物体的重力，根据p=$\frac{F}{S}$表示出水平地面受到的压强增加量，然后得出$\frac{△{p}_{水}}{△{p}_{地}}$的表达式，结合表格数据选择物体，进一步得出答案．

解答 解：（1）水对容器底部的压强：
p=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa，
由p=$\frac{F}{S}$可得，水对容器底部的压力：
F=pS=980Pa×2×10^-2m²=19.6N；
（2）容器内水的体积：
V_水=Sh_水=2×10^-2m²×0.1m=2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，容器中水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×2×10^-3m³=2kg，
水的重力：
m_水=m_水g=2kg×9.8N/kg=19.6N，
容器对桌面的压力：
F′=G_容+G_水=2N+19.6N=21.6N，
容器对桌面的压强：
p′=$\frac{F′}{S}$=$\frac{21.6N}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=1080Pa；
（3）当把物体浸没在容器内水中后（水不会溢出），排开水的体积和自身的体积相等，
则容器内水面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{S}$=$\frac{{V}_{物}}{S}$，
水对容器底部压强的增加量：
△p_水=ρ_水g△h=$\frac{{ρ}_{水}g{V}_{物}}{S}$，
因水平面上物体的压力和自身的重力相等，
所以，模板对地面压力的增加量：
△F=G_物=m_物g=ρ_物V_物g，
水平地面受到的压强增加量：
△p_地=$\frac{△F}{{S}_{模板}}$=$\frac{{ρ}_{物}{V}_{物}g}{{S}_{模板}}$，
则$\frac{△{p}_{水}}{△{p}_{地}}$=$\frac{\frac{{ρ}_{水}g{V}_{物}}{S}}{\frac{{ρ}_{物}{V}_{物}g}{{S}_{模板}}}$=$\frac{{ρ}_{水}{S}_{模板}}{{ρ}_{物}S}$，
要使△p_水与△p_地的比值最小，则物体的密度应最大，
由表格数据可知，当物体的密度为3ρ时，这个比值最大，
则最小比值则$\frac{△{p}_{水}}{△{p}_{地}}$=$\frac{{ρ}_{水}{S}_{模板}}{{ρ}_{物}S}$=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×1{0}^{-2}{m}^{2}}{3ρ×2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=$\frac{2}{3ρ}$×10³kg/m³．
答：（1）水对容器底部的压强为980N，压力为19.6N；
（2）容器对桌面的压力为21.6N，压强为1080Pa；
（3）①B；②△p_水与△p_地的最小比值为$\frac{2}{3ρ}$×10³kg/m³．

点评 本题考查了液体和固体压强、压力的计算，正确的表示出水对容器底部压强的增加量与水平地面受到的压强增加量的比值是关键，要注意水平面上物体的压力和自身的重力相等．