Question

13．横截面积均为S=1cm²的物体A与塑料B粘合成一个粘合体，全长为l=50cm，粘合体放入水中时漂浮在水面，浸入水中的长度为$\frac{4}{5}$l，如图所示，现将浮出水面部分切掉，以后每浮出水面一部分，稳定后就把它切掉．已知ρ_水=1.0×10³kg/m³，ρ_B=0.4×10³kg/m³，g取10N/kg．求：
（1）粘合体未被切前，A底面受到水的压强；
（2）粘合体未被切前的总质量；
（3）第一次切掉后，稳定时浸入水中的长度；
（4）第四次切掉后，稳定时浮出水面部分的长度．

Answer 1

分析 （1）粘合体未被切前，浸入水中的长度为$\frac{4}{5}$l，据此求出A底面所处的深度，利用p=ρgh计算出水对A底面的压强；
（2）根据体积V=Sh求出排开水的体积，根据阿基米德原理计算出受到的浮力；根据漂浮条件F_浮=G即可求出物体的总重力，利用m=$\frac{G}{g}$计算出总质量；
（3）由图可知：粘合体露出水面的物体是塑料B，根据体积V=Sh求出露出水面的塑料B的体积；利用G=ρgV计算出第一次切掉后粘合体减小的重力，从而得出剩余的粘合体的重力G₁，根据漂浮条件F_浮=G和阿基米德原理即可求出粘合体排开水的体积V₁，进而得出稳定时浸入水中的长度h₁；
（4）根据（3）的计算步骤分别求出即可二、三、四次切掉后的浸入水中的长度，即可出浮出水面部分的长度．

解答 解：（1）粘合体未被切前，浸入水中的长度h=$\frac{4}{5}$l=$\frac{4}{5}$×50cm=40cm=0.4m，
则A底面受到水的压强p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.4m=4×10³Pa；
（2）粘合体未被切前，排开水的体积V_排=Sh=1cm²×40cm=40cm³=4×10^-5m³，
由于物体处于漂浮，根据漂浮条件可知：
G=F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×4×10^-5m³=0.4N；
所以m=$\frac{G}{g}$=$\frac{0.4N}{10N/kg}$=0.04kg=40g；
（3）由图可知：粘合体未被切前，塑料B露出水面的体积V_露=S（l-h）=1cm²×（50cm-40cm）=10cm³=1×10^-5m³，
第一次切掉后粘合体减小的重力△G₁=G_B露=ρ_BgV_露=0.4×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-5m³=0.04N；
第一次切掉后剩余的粘合体的重力G₁=G-△G₁=0.4N-0.04N=0.36N，
由于切掉后剩余的粘合体仍处于漂浮，根据漂浮条件可知：
F_浮1=G₁=0.36N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排1=$\frac{{F}_{浮1}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.36N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.6×10^-5m³=36cm³；
稳定时浸入水中的长度h₁=$\frac{{V}_{排1}}{S}$=$\frac{36c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=36cm；
（4）第一次切掉后塑料B露出水面的体积V_露1=S（h-h₁）=1cm²×（40cm-36cm）=4cm³=4×10^-6m³；
粘合体减小的重力△G₂=G_露1=ρ_BgV_露1=0.4×10³kg/m³×10N/kg×4×10^-6m³=0.016N；
第二次切掉后剩余的粘合体的重力G₂=G₁-△G₂=0.36N-0.016N=0.344N，
由于切掉后剩余的粘合体仍处于漂浮，根据漂浮条件可知：
F_浮2=G₂=0.344N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排2=$\frac{{F}_{浮2}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.344N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.44×10^-5m³=34.4cm³；
稳定时浸入水中的长度h₂=$\frac{{V}_{排2}}{S}$=$\frac{34.4c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=34.4cm；
第二次切掉后塑料B露出水面的体积V_露2=S（h₁-h₂）=1cm²×（36cm-34.4cm）=1.6cm³=1.6×10^-6m³；
粘合体减小的重力△G₃=G_露2=ρ_BgV_露2=0.4×10³kg/m³×10N/kg×1.6×10^-6m³=0.0064N；
第三次切掉后剩余的粘合体的重力G₃=G₂-△G₃=0.344N-0.0064N=0.3376N，
由于切掉后剩余的粘合体仍处于漂浮，根据漂浮条件可知：
F_浮3=G₃=0.3376N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排3=$\frac{{F}_{浮3}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.3376N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.376×10^-5m³=33.76cm³；
稳定时浸入水中的长度h₃=$\frac{{V}_{排3}}{S}$=$\frac{33.76c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=33.76cm；
第三次切掉后塑料B露出水面的体积V_露3=S（h₂-h₃）=1cm²×（34.4cm-33.76cm）=0.64cm³=6.4×10^-7m³；
粘合体减小的重力△G₄=G_露3=ρ_BgV_露3=0.4×10³kg/m³×10N/kg×6.4×10^-7m³=0.00256N；
第四次切掉后剩余的粘合体的重力G₄=G₃-△G₄=0.3376N-0.00256N=0.33504N，
由于切掉后剩余的粘合体仍处于漂浮，根据漂浮条件可知：
F_浮3=G₃=0.33504N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排4=$\frac{{F}_{浮4}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.33504N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.3504×10^-5m³=33.504cm³；
稳定时浸入水中的长度h₄=$\frac{{V}_{排4}}{S}$=$\frac{33.504c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=33.504cm；
所以漏出的长度为：L_露4=h₃-h₄=33.76cm-33.504cm=0.256cm．
答：（1）粘合体未被切前，A底面受到水的压强为4×10³Pa；
（2）粘合体未被切前的总质量为40g；
（3）第一次切掉后，稳定时浸入水中的长度为36cm；
（4）第四次切掉后，稳定时浮出水面部分的长度0.256cm．

点评 本题考查了液体压强、漂浮条件、阿基米德原理、重力和密度等公式的灵活运用．解决此题的关键是利用漂浮条件．