Question

16．甲乙两同学同时从跑道一端前往另一端．甲同学在全程时间的一半跑，速度为v₁，另一半时间走，速度为v₂；乙同学在同学在全程路程的一半跑，速度为v₁，另一半路程走，速度为v₂．如果他们走和跑的速度分别都相等则：
（1）求甲同学全程的平均速度；
（2）求乙全程的平均速度；
（3）问甲乙同学谁先到达目的地，请分析论证．

Answer 1

分析 （1）设甲同学全程一半的时间为t，则通过全程的时间为2t，根据s=vt求出甲同学所通过的路程，利用v=$\frac{s}{t}$可求得甲同学全程的平均速度；
（2）设乙同学全程的一半的路程为s，则全程的路程为2s，根据t=$\frac{s}{v}$求出乙同学所用的时间，利用v=$\frac{s}{t}$可求得甲同学全程的平均速度；
（3）由于通过的路程相同，则根据t=$\frac{s}{v}$即可比较甲、乙两个同学哪一个所用的时间短一些．

解答 解：（1）设甲同学全程一半的时间为t，则通过全程的时间为2t，
由v=$\frac{s}{t}$得：前一半的时间通过的路程为s₁′=v₁t，
后一半的时间通过的路程为s₂′=v₂t，
则甲同学所通过的总路程为s=s₁′+s₂′=v₁t+v₂t=（v₁+v₂）t，
甲同学全程的平均速度v_甲=$\frac{{s}_{甲}}{{t}_{甲}}$=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）t}{2t}$=$\frac{1}{2}$（v₁+v₂）；
（2）设乙同学全程的一半路程为s，则全程的路程为2s，
由v=$\frac{s}{t}$得：前一半的路程所用时间t₁′=$\frac{s}{{v}_{1}}$，
后一半的路程所用时间为t₂′=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
则乙同学所通过的总时间为t_乙=t₁′+t₂′=$\frac{s}{{v}_{1}}$+$\frac{s}{{v}_{2}}$，
乙同学全程的平均速度v_乙=$\frac{{s}_{乙}}{{t}_{乙}}$=$\frac{s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}$=$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（3）因为$\frac{{v}_{甲}}{{v}_{乙}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）}{\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}}$=$\frac{{（v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{{2v}_{1}{v}_{2}}$1+$\frac{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}{{2v}_{1}{v}_{2}}$＞1，
所以v_甲＞v_乙，
由于甲乙两同学同时从跑道一端前往另一端，通过的路程相同，根据t=$\frac{s}{v}$可知甲同学所用的时间短一些．
所以甲同学先到达目的地．
答：（1）甲同学全程的平均速度为$\frac{1}{2}$（v₁+v₂）；
（2）乙全程的平均速度为$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（3）甲同学先到达目的地．

点评 此题是一道难度较大的速度计算题，解答的过程中培养了学生利用所学的知识来解决实际问题的能力．