Question

17．如图所示，将高为10cm的圆柱体甲放在水平地面上，细绳的一端系于圆柱体甲上表面的中央，另一端竖直拉着杠杆的A端，当把质量为800g的圆柱体乙悬挂在杠杆的B端并处于圆柱形容器M中时，且与容器M始终不接触，杠杆在水平位置平衡，此时圆柱体甲对水平地面的压强4200Pa，把质量为900g的水注入容器M中，水未溢出，水静止后，杠杆仍在水平位置平衡，且水对容器M底面的压强为2500Pa，圆柱体甲对水平地面的压强为7000Pa，已知容器M的底面积为50cm²，不计杠杆的质量，g取10N/kg，求：
（1）乙所受的浮力
（2）甲物体的密度．

Answer 1

分析 （1）根据水对容器M底面的压强为2500Pa，利用压强公式变形可求得容器M中水的深度；
（2）根据求出注水后水面的高度h₂，然后利用密度公式求出没有物体浸没在水中时水面的高度h₁，则乙物体排开水的体积为V_排=（h₂-h₁）×S_容器；然后将其代入浮力公式解得乙物体受到的浮力，
（3）假设甲的密度为ρ_甲，底面积为S_甲；利用杠杆的平衡条件得出两个关于ρ_甲、S_甲的方程，然后利用数学知识将S_甲消除，即可解得甲的密度．

解答 解：（1）设容器中只有水时水的深度为h₁，
由ρ=$\frac{m}{V}$和V=Sh可得：
h₁=$\frac{m}{ρ{S}_{容}}$=$\frac{0.9kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×0.005{m}^{2}}$=0.18m，
设乙物体浸在水中时水的深度为h₂，
由p=ρhg可得：
h₂=$\frac{p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{2500Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.25m；
乙物体排开水的体积为：V_排=（h₂-h₁）×S_容器=（0.25m-0.18m）×0.005m²=3.5×10^-4m³，
乙物体受到的浮力为：F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×3.5×10^-4m³×10N/kg=3.5N；
（2）乙的重力G_乙=m_乙g=0.8kg×10N/kg=8N，
对甲进行受力分析，甲受向下的重力、向上的支持力、向上的拉力，
右边容器没有注水时，由杠杆的平衡条件可得F_甲L_甲=F_乙L_乙，
即：（G_甲-F_支）•L_甲=G_乙L_乙 --------①；
右边容器注水后，根据杠杆的平衡条件可得（G_甲-F_支′）•L_甲=F₂L_乙，
即（G_甲-F_支′）•L_甲=（G_乙-F_浮）•L_乙 --------②
其中，F_支=F_压=p_甲S_甲=4200Pa×S_甲，F_支′=F_压′=p_甲′S_甲=7000Pa×S_甲，
由①÷②得：$\frac{{G}_{甲}-{F}_{支}}{{G}_{甲}-{F}_{支}^{′}}$=$\frac{{G}_{乙}}{{G}_{乙}-{F}_{浮}}$，
即$\frac{{G}_{甲}-4200Pa×{S}_{甲}}{{G}_{甲}-7000Pa{×S}_{甲}}$=$\frac{8N}{8N-3.5N}$--------③，
甲为圆柱体，根据G=ρVg=ρShg可将③式写为：
$\frac{{ρ}_{甲}•{S}_{甲}•{h}_{甲}•g-4200Pa•{S}_{甲}}{{ρ}_{甲}•{S}_{甲}•{h}_{甲}•g-7000Pa•{S}_{甲}}$=$\frac{8}{4.5}$，
代入数据可得：$\frac{{ρ}_{甲}×0.1m×10N/kg-4200Pa}{{ρ}_{甲}×0.1m×10N/kg-7000Pa}$=$\frac{8}{4.5}$，
解得ρ_甲=10.6×10³kg/m³．
答：（1）乙所受的浮力为3.5N；
（2）甲物体的密度为10.6×10³kg/m³．

点评 解答本题的关键点在于求解注水后乙物体对杠杆的力的大小：再根据力的合成求出注水后乙物体对杠杆的力的大小．然后即可求得圆柱体甲的密度，此题难度较大，属于难题．