Question

1．某同学将一个空心金属球放入一个足够大的盛满水的容器中，当球静止时，露出水面的体积是总体积的$\frac{1}{3}$；若将球的空心部分注入体积为V₀的水时，球恰好悬浮在水中，球内水的体积是球空心部分体积的$\frac{2}{5}$；将球的空心部分注满水，球沉入容器底．已知水的密度为ρ₀．求：
（1）金属的密度；
（2）球注满水沉底时，容器底对金属球的支持力．

Answer 1

分析 由小球几次注水时在水中的状态不同，分别由浮沉条件可以得出公式，联立可解得压力和小球的密度．

解答 解：
设空心球的总体积为V，其实心部分的体积为V_实，金属的密度为ρ，
当空心球漂浮时，露出水面的体积是它体积的$\frac{1}{3}$，
由漂浮条件可得：F_浮=G，
结合阿基米德原理和重力公式可得：ρ_水g$\frac{2}{3}$V=ρgV_实-------①
将球的空心部分注入V₀的水时，球恰好悬浮在水中，
所以有F_浮′=G_总，
即ρ_水gV=ρgV_实+ρ_水gV₀--------②
由题可知，V₀=$\frac{2}{5}$V_空=$\frac{2}{5}$（V-V_实）--------③
②式-①式，整理可得V₀=$\frac{1}{3}$V-------④，
把④代入③解得：V_实=$\frac{1}{6}$V，即V=6V_实------⑤；
将⑤代入①式，解得：ρ=4ρ_水；
由④⑤可得V_实=$\frac{1}{2}$V₀-------⑥
当将球的空心部分注满水沉入容器底时，设容器对球的支持力为N，
则有F_浮′+N=G_总′，
即ρ_水gV+N=ρgV_实+ρ_水g（V-V_实）------⑦；
将V=6V_实代入⑦得，ρ_水g6V_实+N=ρgV_实+ρ_水g（6V_实-V_实）；
则N=ρgV_实+ρ_水g（6V_实-V_实）-ρ_水g6V_实
=ρgV_实-ρ_水gV_实
=4ρ_水gV_实-ρ_水gV_实
=3ρ_水gV_实
=3ρ_水g×$\frac{1}{2}$V₀
=1.5ρ_水gV₀．
答：（1）金属的密度是4ρ_水；
（2）球注满水沉底时，容器底对金属球的支持力1.5ρ_水gV₀．

点评 本题告诉了三种受浮力的情况，故可通过方程组的形式求解．