Question

12．某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的液面高度h₁保持不变．罐底有一个小出水口，面积为S₁．孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连．杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S₃，BO是杠杆总长的$\frac{1}{3}$．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h₂，活塞恰好能堵住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h₃．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．减重前活塞S₂比A容器底部低$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$，减重后活塞S₂恰好与A容器底部相平．试求浮子应减去重量G′的大小．（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记．）

Answer 1

分析 分别根据杠杆的平衡条件列出浮子C减重前、后杠杆平衡的等式，求出浮子减重前、后重力的大小，然后求得浮子应减去重量G′的大小．

解答 解：
（1）浮子减重前重力为G，
由阿基米德原理，浮子受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gS₃h₃，
对杠杆C端作用力：F_C=F_浮-G=ρ_水gS₃h₃-G；
由p=$\frac{F}{S}$，A容器中水对活塞压力：F_O=pS=ρ_水gh=ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$），
根据杠杆的平衡条件：
F_CL=F_O×$\frac{1}{3}$L，
即：（ρ_水gS₃h₃-G）×L=ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）×$\frac{1}{3}$L
解得：G=ρ_水gS₃h₃-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）；
（2）浮子减重后重力为G₁，
同理：
对杠杆C端作用力：F_C′=F_浮′-G₁=ρ_水gS₃h₂-G₁；
A容器中水对活塞压力：F_O′=p′S=ρ_水gh′=ρ_水gS₁h₁，
根据杠杆的平衡条件：F_C′L=F_O′×$\frac{1}{3}$L，
即：（ρ_水gS₃h₂-G₁）L=ρ_水gS₁h₁×$\frac{1}{3}$L，
解得：G₁=ρ_水gS₃h₂-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₁h₁；
（3）浮子减去的重量：
G′=G-G₁
=ρ_水gS₃h₃-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）-（ρ_水gS₃h₂-$\frac{1}{3}$ρ_水gS₁h₁）
=$\frac{1}{3}$ρ_水g[S₁h₁+3S₃（h₃-h₂）-S₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）]
答：浮子应减去重量G′的大小为$\frac{1}{3}$ρ_水g[S₁h₁+3S₃（h₃-h₂）-S₂（h₁+$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$）]．

点评 本题考查了阿基米德原理、压强、杠杆平衡条件公式的应用，关键是正确分析杠杆上两种平衡状态时受到的力，有相当的难度，要细心！