题目内容

如图所示的电路中，电源两端电压不变，灯的电阻不变．当开关S₁闭合，S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到B端时，R₁的电功率为P₁，电流表示数为I₁；当开关S₁断开，S₂闭合时，R₁的电功率为 P₁′，电流表示数为I₂，此时灯L正常发光．已知P₁：P₁′=9：25．当开关S₁、S₂ 都断开，滑动变阻器的滑片P在C点时，变阻器接入电路的电阻为R_C，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂，已知U₁：U₂=3：2，R_C的电功率为9W，电路消耗的总功率为P_总．此电路通过断开、闭合开关以及移动滑动变阻器的滑片P，形成的不同电路所消耗的最大电功率与最小电功率之比为3：1．求：
（1）电流表I₁与I₂的比值；
（2）灯的电阻与滑动变阻器最大阻值之比；
（3）总功率为P_总；
（4）灯L的额定功率P_L0．
（请画出相关电路状态的等效电路图）

解：相关电路状态的等效电路图如所示：

（1）由题可知，P₁=I₁²R₁，P₁′=I₂²R₁，因为，P₁：P₁′=9：25，所以，I₁：I₂=3：5；
（2）当开关S₁闭合，S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到B端时，灯泡短路，R₁和滑动变阻器串联，如图1所示，
当开关S₁断开，S₂闭合时，滑动变阻器短路，R₁和灯泡串联．如图2所示，由I₁：I₂=3：5，
可得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …①；
当开关S₁、S₂ 都断开，滑动变阻器的滑片P在B点时，R₁、R_L、R₃串联，如图4所示，电路中电阻最大，功率最小；
P_最小= $\text{[math]}$ ，
当开关S₁、S₂ 都闭合时，滑动变阻器和灯泡短路，电路中电阻是R₁电阻最小，如图5所示，功率最大．
P_最大= $\text{[math]}$ ，因为，最大电功率与最小电功率之比为3：1，
所以， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …②，
由①②得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，R₁=2R_L．
（3）当开关S₁、S₂ 都断开，滑动变阻器的滑片P在C点时，如图3所示，U₁：U₂=3：2，
所以，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …③将R₁=2R_L代入③式，可得R_L=R_C，
又P_C= $\text{[math]}$ ×R_C=9W．
P_总= $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，R₁=2R_L，R_L=R_C代入两式整理得，P_总=36W．
（4）当开关S₁断开，S₂闭合时，滑动变阻器短路，R₁和灯泡串联．如图2所示，灯泡正常发光，
P_L= $\text{[math]}$ ×R_L，
又P_C= $\text{[math]}$ ×R_C=9W．将R₁=2R_L，R_L=R_C代入以上两式整理得，P_L=16W．
答：（1）电流表I₁与I₂的比值是3：5；
（2）灯的电阻与滑动变阻器最大阻值之比是1：3；
（3）总功率为P_总是36W；
（4）灯L的额定功率是16W．
分析：（1）有电流和电阻，由P=I²R可以写出P₁和P₁′的表达式，根据P₁：P₁′=9：25．可求出电流之比．
（2）分析电路：当开关S₁闭合，S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到B端时，灯泡短路，R₁和滑动变阻器串联，此时滑动变阻器电阻全部接入电路．电阻为R₃，当开关S₁断开，S₂闭合时，滑动变阻器短路，R₁和灯泡串联．灯泡电阻为R_L，根据（1）中的电流之比可求出 $\text{[math]}$ 之比；
当开关S₁、S₂ 都断开，滑动变阻器的滑片P在B点时，R₁、R_L、R₃串联，电路中电阻最大，功率最小；
当开关S₁、S₂ 都闭合时，滑动变阻器和灯泡短路，电路中电阻是R₁电阻最小，功率最大．最大电功率与最小电功率之比为3：1．可求出 $\text{[math]}$ 之比，然后与上式整理可求得灯的电阻与滑动变阻器最大阻值之比；
（3）滑动变阻器的滑片P在C点时，U₁：U₂=3：2，可求得 $\text{[math]}$ 之比，根据电阻关系找出总功率P_总与R_C的电功率的关系，由R_C的电功率是9W，可求出总功率．
（4）根据电阻关系找出灯L的额定功率P_L0与R_C的电功率的关系，由R_C的电功率是9W，灯L的额定功率P_L0．
点评：正确分析电路画出电路图是解题的关键；求出各电阻之间的关系是解题的突破口．
在计算电功率时，若没有给出具体的电压、电流和电阻，就要设法找出要求的功率与已知功率的关系，求出要求的功率．