Question

2．如图所示，甲、乙两个完全相同的薄壁圆柱形容器置于水平桌面上，两容器底部用一根吸管相连，开始阀门K关闭，容器底面积均为2×10^-2米²，甲盛有深度为0.2米的水，乙中放一底面积为1×10^-2米²、高为0.2米的圆柱形木块．
①求甲中水对容器底部的压强p_水．
②若甲中水对容器底部的压强是木块对乙底部压强的2倍，求物块的密度ρ_物
③打开阀门，直到水不再流动，求此过程进入乙容器中水的质量△m_水．

Answer 1

分析 （1）根据p=ρgh求得水对容器底的压强．
（2）根据水对容器底部的压强求出木块对乙底部压强，由于木块是圆柱形放在水平容器底，可以利用p=ρgh求物块的密度ρ_物．
（3）打开阀门水不再流动时，甲、乙容器中的水面一定相平，先判断木块是处于漂浮状态，然后根据容器底水的体积不变列出等式求出此时水的深度，最后利用V=Sh求出水的体积，利用m=ρV求出水的质量．

解答 解：（1）水对容器底的压强p_水=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.2m=1.96×10³Pa．
（2）根据题意可知：p_木=$\frac{1}{2}$p_水=$\frac{1}{2}$×1.96×10³Pa=0.98×10³Pa．
由于木块是圆柱形放在水平容器底，则p=ρgh得：
物块的密度ρ_木=$\frac{{p}_{木}}{gh}$=$\frac{0.98×1{0}^{3}Pa}{9.8N/kg×0.2m}$=0.5×10³kg/m³．
（3）甲、乙容器完全相同，甲盛有深度为0.2米的水，若乙容器中没有木块时，水的深度可达0.1m；
由于ρ_木=0.5×10³kg/m³，ρ_水=1.0×10³kg/m³，则ρ_木=$\frac{1}{2}$ρ_水，根据漂浮条件和阿基米德原理可知木块漂浮时浸没的深度为0.1m，所以，当木块在乙容器中甲、乙容器中的水面相平时木块一定时处于漂浮状态；
设甲、乙容器中的水面相平时水的深度为h′，由于木块在乙容器中水上处于漂浮时浸没的深度为0.1m，
则乙中的水的体积为V_乙=S_乙h′-V_浸=S_乙h′-S_木h_浸，
甲乙中的水的体积之和：V_甲+V_乙=V_水，
S_甲h′+S_乙h′-S_木h_浸=S_甲h，
所以h′=$\frac{{S}_{甲}h+{S}_{木}{h}_{浸}}{{S}_{甲}+{S}_{乙}}$=$\frac{2×1{0}^{-2}{m}^{2}×0.2m+1×1{0}^{-2}{m}^{2}×0.1m}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}+2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.125m．
由ρ=$\frac{m}{V}$得：流入乙容器中的水的质量为m_乙=ρ_水V_乙=ρ_水（S_乙h′-S_木h_浸）=1.0×10³kg/m³×（2×10^-2m²×0.125m-1×10^-2m²×0.1m）=1.5kg．
答：①甲中水对容器底部的压强p_水=1.96×10⁴Pa．
②物块的密度ρ_物=0.5×10³kg/m³．
③过程进入乙容器中水的质量△m_水=1.5kg．

点评 本题考查液体压强公式和物体浮沉条件的应用，难点在于（3）中乙容器里的木块所处状态的判断，知道由可能换没有浮起来，所以小于先判断木块是处于漂浮的．