Question

4．如图甲所示装置，杠杆和绳子的重力及滑轮与轴的摩擦均忽略不计，杠杆始终保持水平平衡．滑轮组的上端用弹簧测力计和天花板相连，滑轮组的下端，悬挂一圆柱形的物体，此物体浸在圆柱形容器内的水中．已知杠杆O点两侧的长度关系为AO=2OB，容器底面积为200cm²，圆柱形物体的底面积为100cm²、高为12cm，重力为24N．已知弹簧所受拉力T与拉伸形变量△x的关系如图乙所示，动滑轮D重为15N，滑轮C质量未知，取g=10N/kg．该物体的上表面恰好与水面相平，此时杠杆B端绳上的拉力为F₁；当打开圆柱形容器下方的阀门K，将水向外释放至某时刻，将阀门K关闭，此时杠杆B端绳上的拉力F₂，若使F₁：F₂=3：4，需放出多少千克的水？

Answer 1

分析 计算放出水的质量，根据m=ρV可知关键是求出水面下降后放出的水的体积，所以需要根据物体G下降的高度和物体G露出水面的体积判断；
（1）由于水面下降后测力计拉力的示数发生变化，所以应根据滑轮D的受力情况和杠杆AB的平衡求出向外释放水的前后两个状态下的测力计拉力，根据拉力的变化由图象即可得出物体G下降的高度；
（2）根据滑轮D的受力变化和物体G的受力情况得出物体G的浮力变化，根据阿基米德原理即可得出物体G露出水面的体积．据此即可解答．

解答 解：（1）圆柱形物体G的体积V=100cm²×12cm=1200cm³m=1.2×10^-3m³，
该物体的上表面恰好与水面相平，物体G受到的浮力F_浮=ρ_水gV=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.2×10^-3m³=12N；
物体G受力情况如图1：

由于受力平衡，则T_D=G-F_浮=24N-12N=12N；
滑轮D受力情况如图2：

由于滑轮D受力平衡，则3F_A=G_D+T_D，
所以F_A=$\frac{1}{3}$（G_D+T_D）=$\frac{1}{3}$（15N+12N）=9N；
由于杠杆AB处于平衡状态，根据杠杆平衡条件可得：
F_A×OA=F₁×OB，
则F₁=$\frac{OA}{OB}$×F_A=$\frac{2OB}{OB}$×9N=18N；
已知：F₁：F₂=3：4，则F₂=$\frac{4}{3}$F₁=$\frac{4}{3}$×18N=24N；
（2）当水向外释放至某时刻阀门K关闭时，由于杠杆AB处于平衡状态，根据杠杆平衡条件可得：
F_A′×OA=F₂×OB，
则F_A′=$\frac{OB}{OA}$×F₂=$\frac{OB}{2OB}$×24N=12N；
向外释放水的前后两个状态下滑轮C受力情况如图3：

根据物体受力平衡可知：
T=G_C+2F_A，T′=G_C+2F_A′，
所以，测力计的示数变化为：△T=T′-T=（G_C+2F_A′）-（G_C+2F_A）=2F_A′-2F_A=2×12N-2×9N=6N；
由图象可知测力计的弹簧长度的变化△x=3cm，即物体G会下降△h=△x=3cm；
此时滑轮D受力情况如图4：

由于滑轮D受力平衡，则3F_A′=G_D+T_D′，
所以T_D′=3F_A′-G_D=3×12N-15N=21N；
由于物体G受力情况如图5：

由于受力平衡，则T_D′+F_浮′=G，
则对于物体G所受浮力的变化为：
△F_浮=F_浮-F_浮′=（G-T_D′）-（G-T_D′）=T_D′-T_D=21N-12N=9N；
由F_浮=ρ_水gV_排可得露出水面的体积为：
V_露=$\frac{△{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{9N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=9×10^-3m³=900cm³；
所以，物体G会下降3cm和露出900cm³的体积时，需要放出水的体积为：
V_水=S_容△h+V_露=200cm²×3cm+900cm³=1500cm³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得放出水的质量m=ρ_水V_水=1.0g/cm³×1500cm³=1500g=1.5kg．
答：需放出1.5kg的水．

点评 本题考查浮力、密度、体积等的计算，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是对物体进行受力分析，本题难度很大，解题时一定要认真仔细．