Question

如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

 (2) 点D的坐标为（－2，0）.问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, 2 )或P(－,)或P(－,)(3) 最大值为  ，点E 坐标为 (－，)

【解析】解: (1)由题知:  解得:  

∴ 所求抛物线解析式为: ……3分

      (2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, 2 )或P(－,)

或P(－,)……3分

(3)过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a＋3 )( －3< a < 0 )

∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a

∴S_{四边形BOCE} = BF·EF + (OC +EF)·OF  

=( a＋3 )·(－－2a＋3) + (－－2a＋6)·（－a）

==－+ 

∴ 当a =－时，S_{四边形BOCE} 最大, 且最大值为 ．……3分

∴S_{四边形BOCE}－S_△ABC =－6=

∴点E 坐标为 (－，)……1分

（1）由抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）点A（1，0）和点B （-3，0），由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式．

（2）由（1）的解析式就可以求出C点的坐标，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP₁=NP₁时，

作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P₁N的值，从而求出P₁的坐标；

（3）设出点E的坐标，连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四边形BOCE的面积，然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值．