Question

如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题；

①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

Answer 1

考点：

二次函数综合题

专题：

综合题．

分析：

（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；

（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．

解答：

解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2=（﹣2﹣2）（﹣2+a），

解得：a=4；

（2）①由（1）抛物线解析式y=（x﹣2）（x+4），

当y=0时，得：0=（x﹣2）（x+4），

解得：x₁=2，x₂=﹣4，

∵点B在点C的左侧，

∴B（﹣4，0），C（2，0），

当x=0时，得：y=﹣2，即E（0，﹣2），

∴S_△BCE=×6×2=6；

②由抛物线解析式y=（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x=﹣1，

根据C与B关于抛物线对称轴直线x=﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，

设直线BE解析式为y=kx+b，

将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴直线BE解析式为y=﹣x﹣2，

将x=﹣1代入得：y=﹣2=﹣，

则H（﹣1，﹣）．

点评：

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．