Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C．
（1）如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于D．证明：△A₁CD是等边三角形；
（2）如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁：S₂=1：3；
（3）如图3，设AC中点为E，A₁B₁中点为P，AC=a，连接EP，当θ=______°时，EP长度最大，最大值为______．

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
∴△A₁CD是等边三角形；

（2）证明：由旋转的性质可知AC=CA₁，∠ACA₁=∠BCB₁，BC=CB₁，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1²：²=1：3；

（3）解：如图，连接CP，当△ABC旋转到△A₁B₁C的位置时，
此时θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=a+a=a．
故答案为：120，a．
分析：（1）当AB∥CB₁时，∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，则∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，可证：△A₁CD是等边三角形；
（2）由旋转的性质可证△ACA₁∽△BCB₁，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
（3）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，当△ABC旋转到△A₁B₁C的位置时，此时θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=a+a=a．根据图形求出此时的旋转角及EP的长．
点评：本题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．