Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AECB，连接DE并延长交BC于点G，过点A作AH⊥BE于点H，交BC于点F．以下结论：①BHHE；②∠BEG45°；③△ABF ≌△DCG； ④4BH2BG·CD．其中正确结论的个数是( )

A.1个B.2

C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用正方形的性质得到AB=BC=AE，由此得到判断①正确；先求出∠BAC=∠DAC=45°，利用等腰三角形的性质求出∠AEB=∠AED=，再根据对顶角相等及平角求出∠BEG，由此判断②；根据等腰三角形的三线合一的性质求出∠BAF=，推出∠DGC=∠AFB，即可判断③；证明△BEG∽△DCE，即可判断④．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∵AE=CB，

∴AE=AB，

∵AH⊥BE，

∴BH=HE，即①正确；

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

∵AE=AB=AD，

∴∠AEB=∠AED=，

∴∠CEG=∠AED=67.5°，

∴∠BEG=180°-∠AEB-∠CEG=45°，故②正确；

∵AB=AE，AH⊥BE，

∴∠BAF=

∵

∴

∵AD∥BC，

∴∠DGC=∠ADE

∴∠AFB=∠DGC，

又∵AB=DC，∠DCG=

∴△ABF ≌△DCG，故③正确；

∵BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，∠CBE=∠CDE，

∵∠BEG=∠DCE=45°，

∴△BEG∽△DCE，

∴

∴，

∵DE=BE=2BH，

∴4BH2BG·CD，故④正确，

故正确的有①②③④，

故选：D．