Question

如图，A、B、C是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=2

3

，则点P到弦AB的距离为

 

．

Answer 1

分析：圆周角定理知：∠ABD=

1

2

∠AOD=30°，由于BD平分∠ABC，且PE∥AB，可得到∠PEC=2∠DBC=60°，由此可证得△PEB是等腰三角形，即PE=BE=2

3

，过P作BC的垂线PM，通过解直角三角形易求得PM的值，而BD是∠ABC的角平分线，所以P到弦AB、BC的距离相等，由此得解．

解答：解：过P作PF⊥AB，PG⊥BD；
∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于点E，∠AOC=60°，BE=2

3

，
∴∠CBD=∠ABC=30°；
∵BC为∠ABD的角平分线，PF=PG，
∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°，即PE=BE=2

3

；
∴∠PEG=∠BPE+∠CDB=30°+30°=60°；
∵PG⊥BD，
∴∠PGE=90°；
∴sin∠PEG=

PG

PE

；
即

PG

PE

=

3

2

；
∴PG=

3

2

×PE=

3

2

×2

3

=3．
故答案为：3．

点评：此题考查的知识点有：圆周角定理、角平分线的定义和性质、平行线的性质以及解直角三角形等知识的综合应用，难度适中．