Question

【题目】（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG。求证：①∠BEA =∠G，② EF=FG。

（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长。

Answer 1

【答案】（1）①见解析②见解析（2）

【解析】

（1）在△ABE和△ADG中，根据SAS得出△ABE≌△ADG则∠BEA＝∠G.然后在△FAE和△GAF中通过SAS证明得出△FAE≌△GAF，则EF=FG.

（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．在△ABM和△ACE中，通过SAS证明得出△ABM≌△ACE, AM=AE, ∠BAM+∠CAN=45°. 在△MAN和△EAN中，通过SAS证明得出△MAN≌△EAN, MN=EN. Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2得出最终结果.

（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），∠BEA＝∠G

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

又∠BAD＝90°，

∴∠EAG=90°，∠FAG＝45°

在△FAE和△GAF中，，

∴△FAE≌△GAF（SAS），

∴EF=FG

（2）

解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°．

∵CE⊥BC，

∴∠ACE=∠B=45°．

在△ABM和△ACE中，，

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠CAN=45°．

于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

在△MAN和△EAN中，，

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．

∴MN2=BM2+NC2．

∵BM=1，CN=3，

∴MN2=12+32，

∴MN=.