Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0．
（1）求a，b的值；
（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=

1

2

△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=

1

2

△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，

∠OPD

∠DOE

的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质即可列出关于a，b的方程组求得a，b的值；
（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S，根据三角形的面积公式即可求得OM的长，则M的坐标即可求得；
②根据三角形的面积公式，即可写出M的坐标；
（3）利用∠BOF根据平行线的性质，以及角平分线的定义表示出∠OPD和∠DOE即可求解．

解答：解：（1）∵|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0，
又∵|2a+b+1|≥0，（a+2b-4）²≥0，
∴|2a+b+1|=0且（a+2b-4）²=0．
∴

2a+b+1=0 a+2b-4=0

∴

a=-2 b=3

即a=-2，b=3．        

（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．
∵A（-2，0），B（3，0），
∴AB=5，因为C（-1，2），
∴CT=2，CS=1，
△ABC的面积=

1

2

AB•CT=5，要使△COM的面积=

1

2

△ABC的面积，即△COM的面积=

5

2

，
所以

1

2

OM•CT=

5

2

，
∴OM=2.5．所以M的坐标为（2.5，0）．
②存在．点M的坐标为（0，5）或（-2.5，0）或（0，-5）．

（3）

∠OPD

∠DOE

的值不变，理由如下：
∵CD⊥y轴，AB⊥y轴
∴∠CDO=∠DOB=90°
∴AB∥CD
∴∠OPD=∠POB
∵OF⊥OE
∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°
∵OE平分∠AOP
∴∠POE=∠AOE
∴∠POF=∠BOF
∴∠OPD=∠POB=2∠BOF
∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°
∴∠DOE=∠BOF
∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE
∴

∠OPD

∠DOE

=2．

点评：本题考查了非负数的性质，三角形的面积公式，以及角平分线的定义，平行线的性质，求点的坐标问题常用的方法就是转化成求线段的长的问题．