Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过B点，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(与点O、B不重合)，过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线经过B(0，4)，∴，　1分 　　∵顶点在直线上，∴，， 　　∴所求函数关系式为：　2分 　　(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴， 　　∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， 　　∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)．　3分 　　当时，，　4分 　　当时，， 　　∴点C和点D在所求抛物线上．　5分 　　(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，　6分 　　设直线CD对应的函数关系式为， 　　则，解得：， 　　∴，　7分 　　当时，，∴P(，)，　8分 　　(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD， 　　∴，，，　9分 　　设对称轴交x轴于点F，则， 　　∵，， 　　∴(　10分 　　由， 　　∴当时，S取得最大值为，　11分 　　此时点M的坐标为(0，)．　12分