Question

【题目】如图，在直角坐标系中，直线与轴分别交于点、点，直线交于点，是直线上一动点，且在点的上方，设点.

（1）当四边形的面积为38时，求点的坐标，此时在轴上有一点，在轴上找一点，使得最大，求出的最大值以及此时点坐标；

（2）在第（1）问条件下，直线左右平移，平移的距离为. 平移后直线上点，点的对应点分别为点、点，当为等腰三角形时，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）点D的坐标为（﹣2，10）, 点M的坐标为（0，）时，|ME﹣MD|取最大值2;(2) 当△A′B′D为等腰三角形时，t的值为﹣2﹣4、4、﹣2+4或9

【解析】

（1）将x=-2代入直线AB解析式中即可求出点C的坐标，利用分割图形求面积法结合四边形AOBD的面积为38即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m值，在x轴负半轴上找出点E关于y轴对称的点E′（-8，0），连接E′D并延长交y轴于点M，连接DM，根据三角形三边关系即可得出此时|ME-MD|最大，最大值为线段DE′的长度，由点D、E′的坐标利用待定系数法即可求出直线DE′的解析式，将x=0代入其中即可得出此时点M的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段DE′的长度即可；
（2）根据平移的性质找出平移后点A′、B′的坐标，结合点D的坐标利用两点间的距离公式即可找出B′D、A′B′、A′D的长度，再根据等腰三角形的性质即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，此题得解．

（1）当x＝﹣2时，y＝，

∴C（﹣2，），

∴S四边形AOBD＝S△ABD+S△AOB＝CD（xA﹣xB）+OAOB＝3m+8＝38，

解得：m＝10，

∴当四边形AOBD的面积为38时，点D的坐标为（﹣2，10）．

在x轴负半轴上找出点E关于y轴对称的点E′（﹣8，0），连接E′D并延长交y轴于点M，连接DM，此时|ME﹣MD|最大，最大值为线段DE′的长度，如图1所示．

DE′＝．

设直线DE′的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将D（﹣2，10）、E′（﹣8，0）代入y＝kx+b，

，解得：，

∴直线DE′的解析式为y＝x+，

∴点M的坐标为（0，）．

故当点M的坐标为（0，）时，|ME﹣MD|取最大值2．

（2）∵A（0，8），B（﹣6，0），

∴点A′的坐标为（t，8），点B′的坐标为（t﹣6，0），

∵点D（﹣2，10），

∴B′D＝，

A′B′＝＝10，A′D＝．

△A′B′D为等腰三角形分三种情况：

①当B′D＝A′D时，有＝，

解得：t＝9；

②当B′D＝A′B′时，有＝10，

解得：t＝4；

③当A′B′＝A′D时，有10＝，

解得：t1＝﹣2﹣4（舍去），t2＝﹣2+4．

综上所述：当△A′B′D为等腰三角形时，t的值为﹣2﹣4、4、﹣2+4或9．