题目内容
如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）当
| AP | AB |
分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得
的比值．
（2）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得
| AP |
| AB |
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；
（2）当
=
时，△PFD∽△BFP．
设AD=AB=a，则AP=PB=
a，
∵∠A=∠PBC，∠ADP=∠EPB，
∴Rt△APD∽Rt△BFP，
∴
=
，
∴BF=BP•
=
a，
∴PD=
=
a，PF=
=
a，
∴
=
=
，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；
（2）当
| AP |
| AB |
| 1 |
| 2 |
设AD=AB=a，则AP=PB=
| 1 |
| 2 |
∵∠A=∠PBC，∠ADP=∠EPB，
∴Rt△APD∽Rt△BFP，
∴
| AP |
| BF |
| AD |
| BP |
∴BF=BP•
| AP |
| AD |
| 1 |
| 4 |
∴PD=
| AD2+AP2 |
| ||
| 2 |
| PB2+BF2 |
| ||
| 4 |
∴
| PB |
| PD |
| BF |
| PF |
| ||
| 5 |
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．
点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，是一道相似形综合题．正确探究三角形相似的性质是解题的关键．
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