题目内容

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=，CD=1，BC=2，动点P从B点出发，沿着BC方向以每秒1个单位的速度向右移动，过点P作射线BA的垂线PQ，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜2），△PBQ与直角梯形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求∠B的度数；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）在P点的运动过程中，设PQ与线段AD相交于点H，是否存在一个圆，使得该圆内切于梯形ABPH？若存在，求出相应的t的值；若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）首先过点A作AH⊥BC于H，根据已知得出BH，AH的长，即可得出tanB=的值，即可得出角B的度数；
（2）分别根据①如图1，当0＜t≤时，②当＜t＜2时，分别求出S与t的关系时即可；
（3）利用切线的性质以及三角形内切圆的性质表示出圆的半径，进而得出即可．
解答：解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵AD=，BC=2，CD=1，
∴BH=，AH=CD=1，
∵在Rt△AHB中
tanB===，
∴∠B=30°；

（2）①如图1，当0＜t≤时，
∵BP=t，PQ=，BQ=t，
∴S=×t×=t2；
②当＜t＜2时，
如图2，设PQ与线段AD交于点H，
∵BP=t，∴BQ=t，PQ=
又∵AB==2，
∴AQ=t-2，
∵AD∥BC，
∴∠QAH=∠B=30°，
∴Rt△QAH中，由勾股定理得出：
QH=（t-2），
∴S=S△BQP-S△AQH
=t2-×（t-2）××（t-2）
=t2-（t-2）2
=t-，
综上所述：S=；

（3）存在；理由如下：
如图3，设⊙O内切于梯形ABPH，
M，N，L分别是AB，PH，BP边的切点，则⊙O的半径r=CD=，
且BM=BL，PL=PN，
又∵⊙O也是Rt△BPQ的内切圆，
∴QM=QN，
∴四边形QMON是正方形，
∴r==，
即t+-t=1，
解得：t=+1，
∴当t=+1时，存在一个圆使该圆内切于梯形ABPH．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及三角形内切圆的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
练习册系列答案
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