题目内容

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD过梯形的高AE的中点F，且BD⊥DC，设AE=h，BC=a．
（1）用含字母h的代数式表示a；
（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x²-3（m+2）x+10m=0的两根，求sin∠DBC的值．

解：（1）根据题意，AD∥BC，且AF=EF；
易得Rt△AFD≌Rt△EFB，故BF=FD，BE=1；且EF= $\text{[math]}$ ；
由勾股定理可得：BF= $\text{[math]}$ ；又可得AD=2AF；
Rt△BEF与Rt△BDC中，有∠BEF=∠BDC=90°，∠B=∠B；
故Rt△BEF∽Rt△BDC，进而可得 $\text{[math]}$ ；
化简可得：a=2（1+ $\text{[math]}$ ）；即a=2+ $\text{[math]}$ ．

（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x²-3（m+2）x+10m=0的两根，
则a+h=m+2，ah= $\text{[math]}$ ；
又有a=2+ $\text{[math]}$ ；解可得a=20，h=6；
DC= $\text{[math]}$ =16；
易得sin∠DBC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先由Rt△AFD≌Rt△EFB，可得BF=FD，BE=1；且EF= $\text{[math]}$ ；且BD=BF；进而可用h表示出BD，BF的长，再根据Rt△BEF∽Rt△BDC，可得 $\text{[math]}$ ；代入h的关系与BC=a可得答案；
（2）由根与系数的关系可得a+h=m+2，ah= $\text{[math]}$ ；结合（1）的结论，可得a，h的值，进而可得CD的长，再根据三角函数的定义，可得答案．
点评：本题考查梯形，菱形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为菱形和直角三角形，从而由菱形和直角三角形的性质来求解．