Question

如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上一点（P点不与B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，连接EF，猜想AP与EF的关系并证明你的结论．

Answer 1

答：AP⊥EF，AP=EF，
证明：延长FP交AB于M，延长AP交EF于N，
即四边形MFCB为矩形，
所以MF=BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∴MF=AB，
∵PF⊥DC，
∴∠PFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠PDF=45°，
∴∠PDF=∠DPF，
∴DF=PF=AM，
∵CD=BC=AB，
∴PM=BM=PE，AM=PF，
在△AMP和△FPE中，

∴△AMP≌FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠MAP，
∵∠FPN=∠MPA，
∴∠PNF=∠AMP=90°，
∴AP⊥EF．
分析：根据矩形的性质和判定，正方形的性质求出AM=PF，PM=PE，求出∠AMP=∠FPE=90°，证△AMP≌△FPE，推出AP=EF，∠PFE=∠MAP即可．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．