Question

如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．
其中正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；
由于与不一定相等，那么与也不一定相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理可知②错误；
先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到=，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由两角对应相等的两三角形相似得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可知④正确；
由于与也不一定相等，而由垂径定理可得出=，则与不一定相等，∠GDA与∠BCE不一定相等，又∠BCE即∠PCQ=∠PQC，所以∠GDA与∠PQC不一定相等，可知⑤错误．
解答：解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴=≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

∵≠，
∴+≠+，
即≠，
∴AD≠BC，故②错误；

∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为的中点，即=，
又∵C为的中点，
∴=，
∴=，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

连接BD，如图所示：
∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP=∠ABD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，
又∵∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，故④正确；

∵CE⊥AB，
∴=，
∵≠，
∴≠，
∴∠GDA≠∠BCE，
又∵∠BCE=∠PQC，
∴∠GDA≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
综上可知，正确的结论是③④，一共2个．
故选B．
点评：此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．