题目内容

已知方程x²+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是________．

-1＜a＜- $\text{[math]}$ 或a=3-2 $\text{[math]}$
分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在恒有解下必须满足△=b²-4ac≥0．
解答：设f（x）=x²+（a-3）x+3，问题等价于 f（x）有一个零点在（1，2）内
根据二次方程根的分布，这等价于 f（1）•f（2）＜0
即[1+（a-3）+3]•[4+（a-3）2+3]＜0，
也即（a+1）•（2a+1）＜0
解得-1＜a＜- $\text{[math]}$ ．
当△=0时，即b²-4ac=0，
∴（a-3）2-12=0，
∴a=2 $\text{[math]}$ +3或-2 $\text{[math]}$ +3，
∵恰有一个解大于1小于2，
∵当a=2 $\text{[math]}$ +3时，x=- $\text{[math]}$ （舍）
∴当a=2 $\text{[math]}$ +3不合题意，
当a=3-2 $\text{[math]}$ 时，x= $\text{[math]}$ ，符合题意，
故答案为：-1＜a＜- $\text{[math]}$ 或a=3-2 $\text{[math]}$ ．
点评：主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系．这些性质和规律要求学生熟练掌握．