Question

已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．

（1）求证：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 

Answer 1

解：（1）证明：∵AF平分∠BAC，

    ∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．

∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．

∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．

∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．  注：证全等也可得到AC=AB

∴AB=CD．

（2）∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，          ∴∠MPC=∠CDA．          

∴∠MPF=∠CDM．              

∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．                    注：证全等也可得到CE=BE

∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．                  注：证全等也可得到CM=BM

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）

∴∠CME=∠BME．              注：证全等也可得到∠CME=∠BME

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，             

∴∠MCD=∠F（三角形内角和）． 注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F