Question

【题目】如图，在矩形中，，过矩形的对角线交点作直线分别交、于点，连接，若是等腰三角形，则____.

Answer 1

【答案】或

【解析】

连接AC，由矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，由ASA证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：

①当AE=AF时，设AE=AF=CF=x，则BF=6-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②当AF=EF时，作FG⊥AE于G，则AG=AE=BF，设AE=CF=x，则BF=6-x，AG=x，得出方程x=6-x，解方程即可；

③当AE=FE时，作EH⊥BC于H，设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，求出FH=CF-CH=2x-6，在Rt△EFH中，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．

解：连接AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：

①当AE=AF时，如图1所示：

设AE=AF=CF=x，则BF=6-x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（6-x）2=x2，

解得：x=，

即AE=；

②当AF=EF时，

作FG⊥AE于G，如图2所示：

则AG=AE=BF，

设AE=CF=x，则BF=6-x，AG=x，

所以x=6-x，

解得：x=4；

③当AE=FE时，作EH⊥BC于H，如图3所示：

设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，

∴FH=CF-CH=x-（6-x）=2x-6，

在Rt△EFH中，由勾股定理得：42+（2x-6）2=x2，

整理得：3x2-24x+52=0，

∵△=（-24）2-4×3×52＜0，

∴此方程无解；

综上所述：△AEF是等腰三角形，则AE为或4；

故答案为：或4．